Encuentra funciones cuadráticas dadas sus gráficas
Encuentra una función cuadrática dada su Gráfico. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas. Un tutorial con ejemplos sobre gráfico de funciones cuadráticas podría ayudar a comprender los ejemplos actuales sobre cómo encontrar ecuaciones cuadráticas.
La forma general de una función cuadrática se escribe como
f(x) = a x 2 + b x + c
Una función cuadrática f en forma vértice (o estándar) se escribe como
f(x) = a (x - h) 2 + k
donde h y k son las coordenadas x e y respectivamente del punto vértice (mínimo o máximo) del gráfico.
La gráfica de de f es una parábola con la recta vertical x = h como eje de simetría.
La relación entre h y k son
h = - b / 2a
y
k = f(h) = c - b 2 / (4 a)
Encontrar función cuadrática conociendo su vértice y un punto
Ejemplo 1
Encuentra la función cuadrática f cuya gráfica se muestra a continuación.
Figura 1. Función cuadrática f
Solución al Ejemplo 1
Sean h y k las coordenadas del vértice de la gráfica de la función f. A partir de la gráfica, el vértice (punto mínimo) se identifica como (h, k) = (0, 2), por lo tanto, la forma de vértice de la función f se puede escribir como
f(x) = a (x - h) 2 + k = a (x - 0) 2 + 2 = a x 2 + 2
El punto (1,3) en el gráfico de f ahora se usará para encontrar el coeficiente a.
f(1) = a (1) 2 + 2 = 3
Resuelve lo anterior para a para obtener
a = 1
Por eso
f(x) = x 2 + 2
Ejemplo 2
Encuentre la función cuadrática g cuya gráfica se muestra a continuación y evalúe g(-3).
Figura 2. Función cuadrática g
Solución al Ejemplo 2
El vértice de la gráfica de la función g es un punto máximo ubicado en (h , k) = (0 , -1). Por lo tanto, la función g en forma de vértice se escribe como
g(x) = a (x - h) 2 + k = a(x - 0) 2 - 1 = a x 2 - 1
Ahora se encontrará el coeficiente a usando el punto (1,-2) que está en la gráfica de g.
g(1) = a (1) 2 - 1 = - 2
Resuelve lo anterior para a para obtener
a = - 1
Por lo tanto, g(x) está dada por
g(x) = - x 2 - 1
g(- 3) = - (- 3) 2 - 1 = - 10
Ejemplo 3
Encuentre la función cuadrática l cuya gráfica se muestra a continuación y calcule las intersecciones x de la gráfica.
Figura 3. Función cuadrática l
Solución al Ejemplo 3
La gráfica de la función l tiene un vértice (punto máximo) ubicado en (h , k) = (2 , 1). La función l en forma de vértice se escribe como
l(x) = a (x - h) 2 + k = a (x - 2) 2 + 1
Usamos el intercepto en y (0,-7) de la gráfica de l para encontrar el coeficiente a de la siguiente manera.
l(0) = a (0 - 2) 2 + 1 = - 7
Resuelve lo anterior para a para obtener
a = - 2
La función l(x) viene dada por
l(x) = - 2 (x - 2) 2 + 1
Ahora calculamos las intersecciones x resolviendo la ecuación
- 2 (x - 2) 2 + 1 = 0
2 (x - 2) 2 = 1
Extrae la raíz cuadrada para obtener las 2 soluciones
x = 2 - √(1/2) y x = 2 + √(1/2)
y por lo tanto las intersecciones x están ubicadas en los puntos
(2 - √(1/2), 0) y (2 + √(1/2), 0)
Encuentra una función cuadrática conociendo sus intersecciones x e y
Ejemplo 4
Encuentre la función cuadrática s en forma estándar cuya gráfica se muestra a continuación.
Figura 4. Funciones cuadráticas
Solución al Ejemplo 4
La gráfica de la función s tiene dos intersecciones x: (-1 , 0) y (2 , 0) lo que significa que la ecuación s(x) = 0 tiene dos soluciones x = - 1 y x = 2.
Por lo tanto, s(x) se puede escribir como el producto de dos factores de la siguiente manera:
s(x) = a (x + 1)(x - 2)
Ahora usamos el intercepto en y (0,- 4) de la gráfica de k para encontrar el coeficiente a de la siguiente manera.
s(0) = a (0 + 1)(0 - 2) = - 4
Resuelva la ecuación anterior para a para obtener
a = 2
La función s(x) viene dada por
s(x) = 2 (x + 1) (x - 2)
Expandimos y simplificamos para escribir s(x) en forma estándar.
s(x) = 2 x 2 - 2 x - 4
Encontrar función cuadrática conociendo su eje y dos puntos
Ejemplo 5
Encuentre la función cuadrática m en forma estándar cuya gráfica es una parábola con un eje de simetría dado por la línea vertical x = -3 como se muestra a continuación.
Figura 5. Función cuadrática m
Solución al Ejemplo 5
El gráfico tiene un eje de simetría dado por la línea vertical x = - 3, por lo que la coordenada x h del vértice es igual a - 3 y m(x) puede escribirse como
m(x) = a (x + 3) 2 + k
Ahora tenemos dos a y k desconocidos para determinar. Usamos los puntos (-5 , 0) y (-2 , -3/2) que se muestran en la gráfica de m para escribir dos ecuaciones en a y k
El punto (-5 , 0) significa m(-5) = 0 lo que da la ecuación a(- 5 + 3) 2 + k = 0
El (-2 , -3/2) significa m(-2) = -3/2 lo que da la ecuación a(- 2 + 3) 2 + k = -3/2
Simplifica para obtener el sistema de ecuaciones
4 a + k = 0
a + k = - 3/2
Resuelva el sistema para obtener
a = 1/2 y k = -2
m(x) = (1/2) (x + 3) 2 - 2
Expande y reescribe m(x) en forma estándar
m(x) = (1/2) x 2 + 3x + 5/2
Encuentra la función cuadrática conociendo tres puntos
Ejemplo 6
Encuentre la función cuadrática w en forma estándar cuya gráfica es una parábola que se muestra a continuación.
Figura 6. Función cuadrática w
Solución al Ejemplo 6
La función cuadrática w(x) en forma estándar se escribe de la siguiente manera
w(x) = a x 2 + b x + c
Necesitamos encontrar los coeficientes a, b y c. Usamos los tres puntos en el gráfico de w para escribir 3 ecuaciones en a, b y c de la siguiente manera:
punto (0,-1/6) da la ecuación: w(0) = a (0) 2 + b (0) + c = - 1/6 (eq 1)
punto (1 , 0) da la ecuación: w(1) = a (1) 2 + b (1) + c = 0 (eq 2)
punto (3 , 10/3) da la ecuación: w(3) = a (3) 2 + b (3) + c = 10/3 (eq 3)
eq 1 se simplifica a
c = - 1/6
Sustituye c por - 1/6 en las ecuaciones 2 y 3 para obtener dos ecuaciones en a y b
a + b = 1/6
9a + 3b = 7/2
Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para obtener
a = 1/2 , b = -1/3
Sustituye a, b y c por sus valores para escribir la función cuadrática w(x) en forma estándar de la siguiente manera
w(x) = (1/2) x 2 - (1/3) x - 1/6
Más referencias y enlaces a funciones cuadráticas y parábolas
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