Encontrar Funciones Cuadráticas a partir de sus Gráficos

Guía Detallada con Métodos de Vértice, Intersecciones y Eje de Simetría

Para encontrar la ecuación de una función cuadrática a partir de su gráfico, identificamos características clave tales como el vértice, las intersecciones o el eje de simetría. Dependiendo de la información disponible, usamos la forma de vértice o la forma factorizada para determinar la función final.

Formas Cuadráticas Clave

Forma General: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Forma de Vértice (Forma Estándar): \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Donde $(h, k)$ son las coordenadas del vértice. La relación entre las formas está dada por:

\[ h = \frac{-b}{2a}, \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]

Método 1: Conociendo el Vértice y un Punto

Ejemplo 1

Encuentra la función cuadrática $f$ cuyo gráfico se muestra a continuación:

Gráfico de función cuadrática con vértice en el origen
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1. Identifica el vértice a partir del gráfico: $(h, k) = (0, 2)$.

2. Establece la forma de vértice: \[ f(x) = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]

3. Usa el punto $(1, 3)$ para resolver $a$: \[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]

Función Final: \[ f(x) = x^2 + 2 \]

Ejemplo 2: Parábola hacia abajo

Encuentra la función $g$ y evalúa $g(-3)$:

Gráfico de parábola hacia abajo
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1. Vértice: $(0, -1)$. Forma de vértice: $g(x) = ax^2 - 1$.

2. Usa el punto $(1, -2)$: \[ a(1)^2 - 1 = -2 \Rightarrow a = -1 \]

3. Ecuación: $g(x) = -x^2 - 1$.

4. Evalúa $g(-3)$: \[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]

Ejemplo 3: Vértice Desplazado

Encuentra la función $l$ y calcula sus intersecciones con x:

Parábola con vértice (2,1)
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1. Vértice $(2, 1) \Rightarrow l(x) = a(x - 2)^2 + 1$.

2. Usa la intersección y $(0, -7)$: \[ a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \]

3. Encuentra las intersecciones x (iguala $l(x) = 0$): \[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1/2 \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{1/2} \]

Método 2: Conociendo Intersecciones x e y

Ejemplo 4

Encuentra la función $s$ en forma estándar:

Parábola con dos intersecciones x
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1. Usa la forma factorizada con intersecciones $(-1, 0)$ y $(2, 0)$: \[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

2. Usa la intersección y $(0, -4)$: \[ a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2 \]

3. Forma estándar: \[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]

Método 3: Conociendo el Eje y Dos Puntos

Ejemplo 5

Encuentra $m(x)$ conociendo que el eje de simetría es $x = -3$:

Parábola con eje de simetría indicado
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1. Forma de vértice: $m(x) = a(x + 3)^2 + k$.

2. Crea un sistema de ecuaciones usando los puntos $(-5, 0)$ y $(-2, -1.5)$:

\[ \begin{cases} a(-5 + 3)^2 + k = 0 \Rightarrow 4a + k = 0 \\ a(-2 + 3)^2 + k = -1.5 \Rightarrow a + k = -1.5 \end{cases} \]

3. Restando las ecuaciones: $3a = 1.5 \Rightarrow a = 0.5$. Luego $k = -2$.

4. Forma estándar: \[ m(x) = 0.5(x + 3)^2 - 2 = 0.5x^2 + 3x + 2.5 \]

Método 4: Conociendo Tres Puntos

Ejemplo 6

Determina $w(x)$ en forma estándar:

Parábola general con tres puntos marcados
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Usando $w(x) = ax^2 + bx + c$:

  • Punto $(0, -1/6) \Rightarrow c = -1/6$.
  • Punto $(1, 0) \Rightarrow a + b - 1/6 = 0 \Rightarrow a + b = 1/6$.
  • Punto $(3, 10/3) \Rightarrow 9a + 3b - 1/6 = 10/3 \Rightarrow 9a + 3b = 7/2$.

Resolviendo el sistema: $a = 1/2, b = -1/3$.

Función Final: \[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]

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