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Encontrar una función cuadrática dada su Gráfica. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas. Un tutorial con ejemplos sobre gráficas de funciones cuadráticas puede ayudar a comprender los ejemplos actuales sobre cómo encontrar ecuaciones cuadráticas.
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La forma general de una función cuadrática se escribe como:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Una función cuadrática \( f \) en forma de vértice (o estándar) se escribe como:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]donde \( h \) y \( k \) son las coordenadas \( x \) e \( y \), respectivamente, del vértice (punto mínimo o máximo) de la gráfica.
La gráfica de \( f \) es una parábola con la línea vertical \( x = h \) como su eje de simetría.
La relación entre \( h \) y \( k \) está dada por:
\[ h = \frac{-b}{2a} \quad \text{y} \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]Encuentra la función cuadrática \( f \) cuya gráfica se muestra a continuación.
Sean \( h \) y \( k \) las coordenadas del vértice de la gráfica de la función \( f \).
De la gráfica, el vértice (punto mínimo) se identifica como \( (h, k) = (0, 2) \). Por lo tanto, la forma de vértice de la función \( f \) se puede escribir como:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]El punto \( (1, 3) \) está en la gráfica de \( f \), y se puede usar para encontrar el coeficiente \( a \).
\[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \]Resolviendo para \( a \):
\[ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]Por lo tanto, la función \( f \) es:
\[ f(x) = x^2 + 2 \]Encuentra la función cuadrática \( g \) cuya gráfica se muestra a continuación y evalúa \( g(-3) \).
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El vértice de la gráfica de la función \( g \) es un punto máximo ubicado en \( (h, k) = (0, -1) \). Por lo tanto, la función \( g \) en forma de vértice se escribe como:
\[ g(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1 \]El coeficiente \( a \) se encontrará ahora usando el punto \( (1, -2) \), que está en la gráfica de \( g \).
\[ g(1) = a(1)^2 - 1 = -2 \]Resuelve la ecuación anterior para \( a \):
\[ a - 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]Por lo tanto, la función \( g(x) \) está dada por:
\[ g(x) = -x^2 - 1 \]Evalúa \( g(-3) \):
\[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]Encuentra la función cuadrática \( l \) cuya gráfica se muestra a continuación y calcula las intersecciones x de la gráfica.
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La gráfica de la función \( l \) tiene un vértice (punto máximo) ubicado en \( (h, k) = (2, 1) \). La función \( l \) en forma de vértice se escribe como:
\[ l(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 2)^2 + 1 \]Usamos la intersección y \( (0, -7) \) de la gráfica de \( l \) para encontrar el coeficiente \( a \) de la siguiente manera:
\[ l(0) = a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \]Resuelve la ecuación para \( a \):
\[ a \cdot 4 + 1 = -7 \quad \Rightarrow \quad 4a = -8 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]Por lo tanto, la función \( l(x) \) está dada por:
\[ l(x) = -2(x - 2)^2 + 1 \]Ahora calculamos las intersecciones x resolviendo la ecuación:
\[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \]Mueve 1 al otro lado y divide por -2:
\[ (x - 2)^2 = \frac{1}{2} \]Extrae la raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x - 2 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ x = 2 \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \]Por lo tanto, las intersecciones x de la función están ubicadas en los puntos:
\[ \left(2 - \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \quad \text{y} \quad \left(2 + \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \]Encuentra la función cuadrática s en forma estándar cuya gráfica se muestra a continuación.
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La gráfica de la función \( s \) tiene dos intersecciones x: \( (-1, 0) \) y \( (2, 0) \). Esto significa que la ecuación \( s(x) = 0 \) tiene dos soluciones: \( x = -1 \) y \( x = 2 \).
Por lo tanto, la función \( s(x) \) se puede escribir como el producto de dos factores:
\[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]Ahora usamos la intersección y \( (0, -4) \) de la gráfica de \( s \) para determinar el coeficiente \( a \):
\[ s(0) = a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \]Resuelve la ecuación anterior para \( a \):
\[ a = 2 \]La función \( s(x) \) está dada por:
\[ s(x) = 2(x + 1)(x - 2) \]Ahora, expande y simplifica para escribir \( s(x) \) en forma estándar:
\[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]Encuentra la función cuadrática m en forma estándar cuya gráfica es una parábola con un eje de simetría dado por la línea vertical x = -3, como se muestra a continuación.
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La gráfica tiene un eje de simetría dado por la línea vertical \( x = -3 \). Por lo tanto, la coordenada \( x \) del vértice, \( h \), es igual a -3, y la función \( m(x) \) se puede escribir como:
\[ m(x) = a(x + 3)^2 + k \]Ahora tenemos dos incógnitas, \( a \) y \( k \), por determinar. Usando los puntos \( (-5, 0) \) y \( (-2, -\frac{3}{2}) \) mostrados en la gráfica de \( m \), podemos escribir dos ecuaciones:
Simplificando ambas ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
\[ 4a + k = 0 \] \[ a + k = -\frac{3}{2} \]Resolviendo este sistema, encontramos:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad k = -2 \]Sustituye estos valores en la forma de vértice de la función:
\[ m(x) = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 2 \]Ahora expande y reescribe \( m(x) \) en forma estándar:
\[ m(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2} \]Encuentra la función cuadrática w en forma estándar cuya gráfica es una parábola mostrada a continuación.
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La función cuadrática \( w(x) \) en forma estándar se escribe de la siguiente manera:
\[ w(x) = ax^2 + bx + c \]Necesitamos encontrar los coeficientes \( a \), \( b \), y \( c \). Usamos tres puntos en la gráfica de \( w \) para escribir un sistema de tres ecuaciones:
El punto \( (0, -\frac{1}{6}) \) da:
\[ w(0) = a(0)^2 + b(0) + c = -\frac{1}{6} \quad \text{(eq 1)} \]El punto \( (1, 0) \) da:
\[ w(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \text{(eq 2)} \]El punto \( (3, \frac{10}{3}) \) da:
\[ w(3) = a(3)^2 + b(3) + c = \frac{10}{3} \quad \text{(eq 3)} \]La ecuación 1 se simplifica a:
\[ c = -\frac{1}{6} \]Sustituye \( c = -\frac{1}{6} \) en las ecuaciones 2 y 3:
\[ a + b = \frac{1}{6} \] \[ 9a + 3b = \frac{7}{2} \]Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{3} \]Sustituyendo \( a \), \( b \), y \( c \) en la forma estándar de la función cuadrática da:
\[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]