Este tutorial proporciona una guía completa sobre cómo multiplicar y dividir expresiones racionales. El proceso implica dos habilidades principales: aplicar las reglas de operación correctas y factorizar polinomios para simplificar la fracción resultante.
Para multiplicar dos expresiones racionales, multiplique los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:
\[ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \]Para dividir dos expresiones racionales, multiplique la primera expresión por el recíproco (inverso) de la segunda expresión:
\[ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \]Multiplique y simplifique: \[ \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x - 1} \]
1. Multiplique los numeradores y los denominadores:
\[ \frac{(x^2 - 1) \cdot x^2}{x \cdot (x - 1)} \]2. Factorice la diferencia de cuadrados \( x^2 - 1 \):
\[ \frac{(x - 1)(x + 1)x^2}{x(x - 1)} \]3. Simplifique los factores comunes:
\[ \mathbf{x(x + 1)} \]Multiplique y simplifique: \[ \frac{x + 2}{x - 3} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} \]
1. Factorice todos los numeradores y denominadores:
\[ \frac{(x+2)}{(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \]2. Simplifique los factores comunes:
\[ \mathbf{\frac{x + 3}{x - 2}} \]Multiplique y simplifique: \[ \frac{2x + 7y}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2 - 49y^2} \]
1. Factorice los términos en la segunda expresión:
\[ 4x^2 - 49y^2 = (2x - 7y)(2x + 7y) \] \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]2. Establezca el producto y simplifique:
\[ \frac{\cancel{(2x+7y)}\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}(2x-7y)\cancel{(2x+7y)}} = \mathbf{\frac{x+1}{2x-7y}} \]Divida y simplifique: \[ \frac{x - 1}{x + 2} \div \frac{x - 1}{x + 2} \]
1. Aplique la regla de la división (multiplique por el recíproco):
\[ \frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 1} \]2. Multiplique y simplifique:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \mathbf{1} \]Divida y simplifique: \[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} \]
1. Multiplique por el recíproco:
\[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 30} \]2. Factorice cada polinomio completamente:
\[ \frac{(2x + 3)(x - 5)}{(x + 4)(x - 1)} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 6)(x - 5)} \]3. Simplifique:
\[ \mathbf{\frac{(2x + 3)(x + 1)}{(x + 4)(x + 6)}} \]Divida y simplifique: \[ \frac{-2x + 4}{x} \div (x - 2) \]
1. Convierta el segundo término en una expresión racional: \( (x - 2) = \frac{x - 2}{1} \).
2. Multiplique por el recíproco:
\[ \frac{-2x + 4}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} \]3. Factorice el numerador: \( -2x + 4 = -2(x - 2) \).
\[ \frac{-2(x - 2)}{x(x - 2)} = \mathbf{-\frac{2}{x}} \]1. Multiplique y simplifique:
\[ \frac{x^2 - 25}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 5} \]
Respuesta: \( x(x - 5) \)
2. Divida y simplifique:
\[ \frac{4x^2}{x - 1} \div \frac{8x}{x^2 - 1} \]
Respuesta: \( \frac{x(x + 1)}{2} \)
3. Simplifique la operación combinada:
\[ \left( \frac{x+2}{x+3} \cdot \frac{x^2-9}{x^2-4} \right) \div \frac{x-3}{x-2} \]
Respuesta: \( 1 \)
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