Problemas de parábola con soluciones detalladas



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Problemas de parábola con soluciones detalladas

Parabola se presentan problemas con las respuestas y las soluciones .

  1. Encuentra la x e intercepta y, el vértice y el eje de simetría de la parábola con la ecuación y = - x 2 + 2 x + 3?

  2. ¿Cuáles son los puntos de intersección de la línea con la ecuación 2x + 3y = 7 e la parábola con la ecuación y = - 2 x 2 + 2 x + 5?

  3. Encuentre los puntos de intersección de las dos parábolas con la ecuación y = - (x - 3) 2 + 2 e y = x 2 - 4x + 1.

  4. Encuentre la ecuación la parábola y = 2 x 2 + b x + c que pasa por los puntos (-1, -5) y (2,10).

  5. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con x intercepta x = 2 e x = -3, e con y intercepta y = 5?

  6. Encuentre la ecuación la parábola y = a x 2 + b x + c que pasa por los puntos (0,3), (1, -4) y (-1,4).

  7. Encuentre la ecuación de la parábola, con el eje vertical de simetría, que es tangente a la línea y = 3 en x = -2 y su gráfica pasa por el punto (0,5).

  8. ¿Para qué valor de la pendiente m es la recta, con la ecuación y = m x - 3, tangente a la parábola con la ecuación y = 3 x 2 - x?

  9. ¿Para qué valores del parametro b la línea con la ecuación y = 2 x + b corta la parábola con la ecuación y = - x 2 - 2 x + 1 en dos puntos?

  10. Encuentre la ecuación y = a x 2 + x de la parábola que es tangente a la línea con la ecuación y = 3 x + 1.

  11. Cambia la gráfica de la parábola y = x 2 por 3 unidades hacia la izquierda, luego refleja la gráfica obtenida en el eje x e luego muévelo 4 unidades hacia arriba. ¿Cuál es la ecuación de la nueva parábola después de estas transformaciones?

  12. ¿Qué transformaciones son necesarias para transformar la gráfica de la parábola y = x 2 en la gráfica de la parábola y = - x 2 + 4 x + 6?

  13. Escribe la ecuación de la parábola que se muestra en el gráfico a continuación.

    Find equation from graph of parabola


Soluciones a las preguntas anteriores

  1. Solución

    Las x interceptaciones son la intersección de la parábola con el eje x que son puntos en el eje xy, por lo tanto, sus coordenadas y son iguales a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación:

    0 = - x 2 + 2 x + 3

    Factorizar el lado derecho de la ecuación: - (x - 3) (x + 1) () = 0

    x intercepta son: Resuelve para x: x = 3 e x = -1,

    La intersección y es la intersección de la parábola con el eje y, que es un punto en el eje yy, por lo tanto, sus coordenadas x son iguales a 0

    y la intersección es: y = - (0) 2 + 2 (0) + 3 = 3,

    El vértice se encuentra escribiendo la ecuación de la parábola en forma de vértice
    y = a (x - h) 2 + k e identificando las coordenadas del vértice h y k.

    y = - x 2 + 2 x + 3 = - (x 2 - 2 x - 3) = - ((x - 1) 2 - 1 - 3) = - (x - 1) 2 + 4

    Vértice en el punto (1, 4)

    Puede verificar todos los puntos anteriores que se encuentran utilizando la gráfica de
    y = - x 2 + 2 x + 3 que se muestra a continuación.

    intercepta xey de la parábola


  2. Solución

    Los puntos de intersección son soluciones a las ecuaciones simultáneas
    2x + 3y = 7 e y = - 2 x 2 + 2 x + 5.

    Dado que y = - 2 x 2 + 2 x + 5, sustituye y por - 2 x 2 + 2 x + 5 en la ecuación
    2x + 3y = 7 de la siguiente manera

    2x + 3 (- 2 x 2 + 2 x + 5) = 7

    Escribe la ecuación cuadrática obtenida anteriormente en forma estándar

    -6x 2 + 8x + 8 = 0

    Divida todos los términos de la ecuación por 2.

    -3x 2 + 4x + 4 = 0

    Solución para x

    x = 2, x = -2/3

    Sustituye x por las soluciones anteriores en 2x + 3y = 7 para encontrar y.

    x = 2, y = 1 e x = -2/3, y = 25/9

    Los puntos de intersección son: (2, 1) e (-2/3, 29/5).

    Verifique la respuesta gráficamente a continuación.

    intersección de una línea y una parábola


  3. Solución

    Los puntos de intersección de las dos parábolas son soluciones a las ecuaciones simultáneas y = - (x - 3) 2 + 2 e y = x 2 - 4x + 1.

    - (x - 3) 2 + 2 = x 2 - 4x + 1

    -2x 2 + 10 x - 8 = 0

    -x 2 + 5 x - 4 = 0

    Soluciones: x = 1 e x = 4

    Usa una de las ecuaciones para encontrar y:

    x = 1 en la ecuación y = - (x - 3) 2 + 2 para obtener y = - (1 - 3) 2 + 2 = -2

    x = 4 en la ecuación y = - (x - 3) 2 + 2 para obtener y = - (4 - 3) 2 + 2 = 1

    Puntos: (1, -2) y (4, 1)

    Verifique la respuesta gráficamente a continuación.

    intersección de dos parábolas



  4. Solución

    Los puntos (-1, -5) e (2,10) están en la gráfica de la parábola y = 2 x 2 + b x + c, por lo tanto.

    -5 = 2 (-1) 2 + b (-1) + c

    10 = 2 (2) 2 + b (2) + c

    Reescribe el sistema anterior en b e c en forma estándar.

    - b + c = - 7

    2 b + c = 2

    Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para obtener: c = - 4 e b = 3

    La ecuación de la parábola que pasa por los puntos (-1, -5) y (2,10) es:
    y = 2 x 2 + bx + c = 2 x 2 + 3 x - 4

    Use un graficador de gráficos para verificar la respuesta trazando los gráficos de y = 2 x 2 + 3 x - 4 e verifique que el gráfico pase por los puntos (-1, -5) e (2, 10).
  5. Solución

    La ecuación de una parábola con x intercepta en x = 2 e x = -3 puede escribirse como el producto de dos factores cuyos ceros son los x interceptados de la siguiente manera:

    y = a (x - 2) (x + 3)

    Ahora usamos la intersección y en (0, 5), que es un punto por el cual pasa la parábola, para escribir:

    5 = a (0 - 2) (0 + 3)

    Resuelve por un

    a = - 5/6

    Ecuación: y = (-5/6) (x - 2) (x + 3)

    Grafica y = (-5/6) (x - 2) (x + 3) y verifica que la gráfica tenga xey interceptadas en
    x = 2, x = -3 e y = 5.
  6. Solución

    Los puntos (0,3), (1, -4) e (-1,4) están en la gráfica de la parábola y = ax 2 + bx + c y son por lo tanto soluciones a la ecuación de la parábola. Por lo tanto, escribimos el sistema de 3 ecuaciones de la siguiente manera:

    3 = a (0) 2 + b (0) + c

    - 4 = a (1) 2 + b (1) + c

    4 = a (-1) 2 + b (-1) + c

    c = 3

    Sustituye c por 3 en las últimas ecuaciones de remolque

    a + b = -7

    a - b = 1

    Resuelve el sistema en ayb

    a = - 3 yb = - 4

    Ecuación: y = a x 2 + b x + c = -3 x 2 - 4x + 3

    Trace los gráficos de y = -3 x 2 - 4x + 3 y verifique que el gráfico pase por los puntos (0,3), (1, -4) e (-1,4).
  7. Solución

    La ecuación de la parábola, con el eje vertical de simetría, tiene la forma y = ax 2 + bx + c o en forma de vértice y = a (x - h) 2 + k donde el vértice está en el punto (h, k).

    En este caso, es tangente a una línea horizontal y = 3 en x = -2, lo que significa que su vértice está en el punto (h, k) = (-2, 3). Por lo tanto, la ecuación de esta parábola puede escribirse como:

    y = a (x - h) 2 + k = a (x - (-2)) 2 + 3 = a (x + 2) 2 + 3

    Su gráfica pasa por el punto (0, 5). Por lo tanto

    5 = a (0 + 2) 2 + 3 = 4 a + 3

    Resuelve lo anterior para un

    a = 1/2

    Ecuación: y = (1/2) (x + 2) 2 + 3

    Trace los gráficos de y = (1/2) (x + 2) 2 + 3 y verifique que el gráfico sea tangente a la línea horizontal y = 3 en x = -2 y también el gráfico pase a través del punto (0, 5).
  8. Solución

    Una línea y una parábola son tangentes si solo tienen un punto de intersección, que es el punto en el que tocan.

    Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema

    y = m x - 3 e y = 3 x 2 - x

    mx - 3 = 3 x 2 - x

    Escribir como una ecuación cuadrática estándar:

    3 x 2 - x (1 + m) + 3 = 0

    Discriminante: Δ = (1 + m) 2 - 4 (3) (3)

    Los gráficos tienen un punto de intersección si Δ = 0 (caso para una solución de una ecuación cuadrática)

    (1 + m) 2 - 4 (3) (3) = 0

    Resolver para m

    (1 + m) 2 = 36

    Soluciones: m = 5 e m = -7

    Use un trazador gráfico para verificar la respuesta trazando los gráficos de y = 5 x - 3 (m = 5 solución), y = -7 x - 3 (m = 7 solución) e y = 3 x 2 - x y compruebe que las dos líneas son tangentes al gráfico de la parábola y = 3 x 2 - x.
  9. Solución

    Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema

    y = 2 x + b e y = - x 2 - 2 x + 1

    2 x + b = - x 2 - 2 x + 1

    Escribir como una ecuación cuadrática estándar:

    - x 2 - 4 x + 1 - b = 0

    Discriminante: Δ = (-4) 2 - 4 (-1) (1 - b)

    Los gráficos tienen dos puntos de intersección si Δ > 0 (caso para dos Solución de una ecuación cuadrática)

    16 + 4 - 4 b > 0

    Resolver para b

    b < 5

    Usa un graficador de gráficos para verificar la respuesta trazando las gráficas de
    y = - x 2 - 2 x + 1 y las líneas con ecuaciones y = 2 x + b para los valores de b > 5, b < 5 e b = 5 para ver cuántos puntos de intersección de la parábola y la línea hay para cada uno de estos valores de b.
  10. Solución

    Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema

    y = a x 2 + x e y = 3 x + 1

    3 x + 1 = a x 2 + x

    Escribir como una ecuación cuadrática estándar:

    a x 2 - 2 x - 1 = 0

    Discriminante: Δ = (-2) 2 - 4 (a) (- 1) = 4 + 4 a

    Los gráficos son tangentes si tienen un punto de intersección (caso para una Solución de una ecuación cuadrática) si Δ = 0. Por lo tanto,

    4 + 4 a = 0

    Resuelve por un

    a = -1

    Ecuación de la parábola: y = -x 2 + x

    Grafica y = - x 2 + x e y = 3 x + 1 para verificar la respuesta encontrada arriba.
  11. Solución

    Inicio: y = x 2

    3 unidades a la izquierda: y = (x + 3) 2

    reflexión en el eje x: y = - (x + 3) 2

    desplazar 4 unidades hacia arriba: y = - (x + 3) 2 + 4

  12. Solución

    Dado: y = - x 2 + 4 x + 6

    Reescriba en forma de vértice completando el cuadrado: y = - x 2 + 4 x + 6 = - (x - 2) 2 + 10

    Inicio: y = x 2

    2 unidades a la derecha: y = (x - 2) 2

    reflexión en el eje x: y = - (x - 2) 2

    desplazar 10 unidades hacia arriba: y = - (x + 2) 2 + 10

  13. Solución

    Cualquier punto identificado en el gráfico dado se puede usar para encontrar la ecuación de la parábola. Sin embargo, utilizando x, y intercepta y el vértice son mejores formas de encontrar la ecuación de la parábola cuyo gráfico se muestra a continuación.

    Se presentan dos métodos para resolver el problema:

    método 1:

    Usa las dos x intrcedas en (-5, 0) y (-1, 0) para escribir la ecuación de la parábola de la siguiente manera:

    y = a (x + 1) (x + 5)

    Use el intercepto y en (0, -5) para escribir

    - 5 = a (0 + 1) (0 + 5) = 5 a

    Resuelve por un

    a = -1

    Escribe la ecuación de la parábola: y = - (x + 1) (x + 5) = - x 2 -6 x - 5

    método 2:

    Usa el vértice en (h, k) = (-3, 4) para escribir la ecuación de la parábola en forma de vértice de la siguiente manera:

    y = a (x - h) 2 + k = a (x + 3) 2 + 4

    Usa la intersección y (0, -5) para encontrar a.

    - 5 = a (0 + 3) 2 + 4

    Resuelve lo anterior para a: a = -1

    y = - (x + 3) 2 + 4 = - x 2 -6 x - 5




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