Preguntas y problemas sobre parábolas con soluciones detalladas

Las intersecciones con el eje x son la intersección de la parábola con el eje x, que son puntos en el eje x y por lo tanto sus coordenadas y son iguales a 0. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación:

\[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \]

Factorice el lado derecho de la ecuación: \[ -(x - 3)(x + 1) = 0\]

Resuelva para x para encontrar: \[ x = 3 \quad \text{y} \quad x = -1\]

Las intersecciones con el eje y son la intersección de la parábola con el eje y, que es un punto en el eje y y, por lo tanto, sus coordenadas x son iguales a 0.

La intersección con el eje y es: \( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \)

El vértice se encuentra escribiendo la ecuación de la parábola en forma de vértice \(y = a(x - h)^2 + k \) completando el cuadrado e identificando las coordenadas del vértice \( h \) y \( k \).

Complete el cuadrado: \[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \]

Vértice en el punto \[ (1 , 4) \]

Puede comprobar todos los puntos encontrados anteriormente utilizando la gráfica de \[ y = - x^2 + 2 x + 3 \] que se muestra a continuación.

Los puntos de intersección son las soluciones de las ecuaciones simultáneas \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{y} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \].

Sustituya \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) por \(y \) en la ecuación \( 2x + 3y = 7 \) para obtener:

\[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \]

Escriba la ecuación cuadrática obtenida anteriormente en forma estándar:

\[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \]

Divida todos los términos de la ecuación por 2.

\[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \]

Solución para x:

\[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \]

Sustituya x por las soluciones anteriores en \( 2x + 3y = 7 \) para encontrar y.

\[ x = 2 , y = 1 \quad \text{y} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \]

Los puntos de intersección son:

\[ (2 , 1) \quad \text{y} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \].

Compruebe la respuesta gráficamente a continuación.

Los puntos de intersección de las dos parábolas son soluciones de las ecuaciones simultáneas:

\[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{y} \quad y = x^2 - 4x + 1 \].

Sustituya \( y \) por \( -(x - 3)^2 + 2 \) en la segunda ecuación:

\[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \]

Expanda, agrupe términos semejantes y escriba en forma estándar:

\[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \]

Divida todos los términos por \( -2 \):

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Las soluciones de la ecuación cuadrática anterior son:

\[ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 4 \]

Use una de las ecuaciones para encontrar y:

\( x = 1 \) en la ecuación \(y = -(x - 3)^2 + 2 \) para obtener \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

\( x = 4 \) en la ecuación \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) para obtener \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

Los puntos de intersección son: \[ (1 , -2) \quad \text{y} \quad (4 , 1) \]

Compruebe la respuesta gráficamente a continuación.

Los puntos \((-1,-5)\) y \((2,10) \) están en la gráfica de la parábola \( y = 2 x^2 + b x + c\) y, por lo tanto, son soluciones a la ecuación de la parábola. Sustituyendo por las coordenadas de los dos puntos, obtenemos las ecuaciones:

\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\] y \[10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\]

Reescriba el sistema anterior con las incógnitas \( b \) y \( c \) en forma estándar.

\[ - b + c = - 7\]

\[ 2b + c = 2\]

Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para obtener: \( c = - 4 \) y \( b = 3\)

La ecuación de la parábola que pasa por los puntos \( (-1,-5)\) y \( (2,10)\) está dada por: \[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\]

Utilice un graficador para comprobar su respuesta graficando \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) y compruebe que la gráfica pasa por los puntos \( (-1,-5) \) y \((2,10)\).

La ecuación de una parábola con intersecciones en el eje x en \( x = 2 \) y \( x = -3 \) se puede escribir como el producto de dos factores cuyos ceros son las intersecciones en el eje x de la siguiente manera:

\[ y = a(x - 2)(x + 3) \]

Ahora usamos la intersección en el eje y en (0, 5), que es un punto por el que pasa la parábola, para escribir:

\[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \]

Resuelva para \(a\):

\[ a = - \dfrac{5}{6} \]

Ecuación: \[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\]

Grafique \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\) y verifique que la gráfica tiene intersecciones en el eje x en \( x = 2 , x = -3 \) y una intersección en el eje y en \( y = 5\).

Los puntos \( (0,3), (1,-4) \) y \( (-1,4) \) se encuentran en la gráfica de la parábola \( y = a x^2 + b x + c \) y, por lo tanto, son soluciones a la ecuación de la parábola. Por lo tanto, escribimos el sistema de 3 ecuaciones de la siguiente manera:

\[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \]

\[ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 \quad (II) \]

\[ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 \quad (III) \]

La ecuación (I) da:

\[ c = 3 \]

Sustituya 3 por c en las ecuaciones (II) y (III):

\[ a + b = -7 \]

\[ a - b = 1 \]

Resuelva el sistema para \( a \) y \( b \) para obtener:

\[a = - 3 \; , \; b = - 4 \]

La ecuación de la parábola está dada por: \[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \]

Grafique las gráficas de \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) y verifique que la gráfica pasa por los puntos \( (0,3), (1,-4) \) y \( (-1 ,4) \).

La ecuación de la parábola, con eje vertical de simetría, tiene la forma \( y = a x^2 + b x + c \) o en forma de vértice \( y = a(x - h)^2 + k \) donde el vértice está en el punto \( (h , k)\).

En este caso es tangente a una línea horizontal \( y = 3 \) en \( x = -2 \) lo que significa que su vértice está en el punto \( (h , k) = (-2 , 3) \). Por lo tanto, la ecuación de esta parábola se puede escribir como:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \]

Su gráfica pasa por el punto \( (0 , 5) \) que debe satisfacer la ecuación:

\[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \]

Resuelva lo anterior para \( a \):

\[ a = \dfrac{1}{2} \]

La ecuación de la parábola está dada por: \[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \]

Trace las gráficas de \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) y verifique que la gráfica es tangente a la línea horizontal \( y = 3 \) en \( x = -2 \) y también que la gráfica pasa por el punto \( (0 , 5) \).

Una línea y una parábola son tangentes si tienen un solo punto de intersección, que es el punto de tangencia. Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema:

\( y = m x - 3 \quad \text{y} \quad y = 3 x^2 - x \)

Sustituya \( y \) por \( m x - 3 \) en la segunda ecuación:

\[ mx - 3 = 3 x^2 - x \]

Escriba como una ecuación cuadrática estándar:

\[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \]

El discriminante de la ecuación cuadrática anterior está dado por:

\[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \]

La línea es tangente a la parábola si tienen un solo punto de intersección, lo que significa que si:

\[\Delta = 0 \]

De ahí la ecuación:

\[(1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \]

resuelva para \( m \):

\[(1 + m)^2 = 36 \]

Las soluciones son: \[ m = 5 \quad \text{y} \quad m = -7 \]

Use un graficador para comprobar su respuesta trazando las gráficas de las líneas: \( y = 5 x - 3 \) (solución \( m = 5 \)), \( y = -7 x - 3 \) (solución \( m = -7 \)) y la parábola \( y = 3 x^2 - x\) y compruebe que las dos líneas son tangentes a la gráfica de la parábola \( y = 3 x^2 - x\).

Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema:

\[ y = 2 x + b \quad \text{y} \quad y = - x^2 - 2x + 1 \]

Sustituya \( y \) por \( 2 x + b \) en la segunda ecuación:

\[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \]

Escriba como una ecuación cuadrática estándar:

\[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \]

El discriminante de la ecuación anterior está dado por:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \]

Las gráficas de \( y = 2 x + b \) y \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) tienen dos puntos de intersección si \( \Delta \gt 0 \) (caso de dos soluciones reales de una ecuación cuadrática), de ahí la desigualdad:

\[ 20 - 4 b \gt 0 \]

Resuelva para \( b \):

\[ b \lt 5 \]

Utilice un graficador para comprobar su respuesta trazando gráficas de \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) y líneas a través de ecuaciones \( y = 2 x + b \) para valores de \( b \gt 5 \) , \( b \lt 5 \) y \( b = 5 \) para ver cuántos puntos de intersección de la parábola y la línea hay para cada uno de estos valores de \( b \).

Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema:

\[ y = a x^2 + x \quad \text{y} \quad y = 3 x + 1 \]

Sustituya \( y \) por \( 3 x + 1 \) en la ecuación \( y = a x^2 + x \):

\[ 3 x + 1 = a x^2 + x \]

Escriba como una ecuación cuadrática estándar:

\[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \]

Discriminante de la ecuación cuadrática: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \]

Las gráficas son tangentes si tienen un punto de intersección (caso de una solución de una ecuación cuadrática) si \( \Delta = 0 \). Por lo tanto:

\[ 4 + 4 a = 0 \]

Resuelva para \(a\):

\[ a = -1 \]

Ecuación de la parábola: \[ y = -x^2 + x \]

Grafique \( y = - x^2 + x \) y \( y = 3 x + 1 \) para verificar la respuesta anterior.

Comience con: \[ y = x^2 \]

Desplace 3 unidades hacia la izquierda: \[ y = (x + 3)^2 \]

Refleje sobre el eje x: \[ y = -(x + 3)^2 \]

Desplace hacia arriba 4 unidades: \[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

Dado: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 \]

Reescriba en forma de vértice completando el cuadrado: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\]

Comienzo: \[ y = x^2\]

Desplace 2 unidades hacia la derecha: \[ y = (x - 2)^2\]

Refleje sobre el eje x: \[ y = -(x - 2)^2 \]

Desplace hacia arriba 10 unidades: \[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

Cualquier punto identificado en la gráfica dada puede usarse para encontrar la ecuación de la parábola. Sin embargo, usar las intersecciones en \( x \) e \( y \) y el vértice son formas mejores de encontrar la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.

Se presentan dos métodos para resolver el problema:

Método 1:

La gráfica tiene dos intersecciones en el eje x: (-5, 0) y (-1, 0)

Use las dos intersecciones en el eje x en (-5, 0) y (-1, 0) para escribir la ecuación de la parábola como el producto de dos factores lineales:

\[ y = a(x + 1)(x + 5)\]

Use la intersección en el eje y en (0, -5) para escribir:

\[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\]

Resuelva para \(a \):

\[ a = -1 \]

Escriba la ecuación de la parábola:

\[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

Método 2:

Use el vértice en \( ( h , k) = (-3 , 4) \) para escribir la ecuación de la parábola en forma de vértice de la siguiente manera:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \]

Use la intersección en el eje y (0, -5) para encontrar \(a\).

\[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \]

Resuelva lo anterior para \(a\): \[ a = -1 \]

La ecuación de la parábola está dada por:

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]