Reglas importantes para simplificar expresiones radicales y expresiones con exponentes se presentan junto con ejemplos. Al final de la página encontrarás ejercicios con sus respuestas.
| Regla | Ejemplo |
| \(0^0\) es indefinido | |
| \(0^m = 0\), \(m \gt 0\) | \(0^{10} = 0\) |
| \(x^0 = 1\), \(x \ne 0\) | \(21^0 = 1\) |
| \(1^m = 1\) | \(1^{12} = 1\) |
| \((-1)^m = 1\) si \(m\) es par | \((-1)^6 = 1\) |
| \((-1)^m = -1\) si \(m\) es impar | \((-1)^9 = -1\) |
| \(x^m x^n = x^{m+n}\) | \(2^3 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\) |
| \(\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) | \(\dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3\) |
| \((x^m)^n = x^{m \times n}\) | \((4^5)^2 = 4^{5 \times 2} = 4^{10}\) |
| \((x y)^m = x^m y^m\) | \((3 b)^2 = 3^2 b^2 = 9 b^2\) |
| \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^m = \dfrac{x^m}{y^m}, y \ne 0\) | \(\left(\dfrac{4}{b}\right)^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2}\) |
| \((-x)^m = (-1)^m x^m\) | \((-3)^4 = (-1)^4 (3^4) = 81\) |
| \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-m} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^{m}, x \ne 0, y \ne 0\) | \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\) |
| \(\dfrac{1}{y^{-m}} = y^m, y \ne 0\) | \(\dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2\) |
| \(|x^m| = |x|^m\) | \(|(-5)^4| = |-5|^4 = 5^4 = 625\) |
Si \(x = y^n\), entonces \(x\) es la raíz \(n\)-ésima de \(y\).
La raíz principal \(n\)-ésima de un número \(x\) tiene el mismo signo que \(x\).
1) La raíz cuadrada (segunda) de \(4\) es \(2\) (Nota: -2 también es raíz pero no es la principal porque tiene signo opuesto a 4).
2) La raíz cúbica (tercera) de \(8\) es \(2\).
3) La raíz cúbica (tercera) de \(-8\) es \(-2\).
Se usan símbolos especiales llamados radicales para indicar la raíz principal de un número:
\[ \huge \color{red}{ y = \sqrt[n]{x} } \]
\(n\) es el índice, \(x\) es el radicando. Para la raíz cuadrada (n = 2), normalmente no se escribe el índice.
| Regla | Ejemplo |
| \(\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m\) | \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2\) |
| \(x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}\) | \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3\) |
| \(\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x y}\) | \(\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{32} = 2\) |
| \(\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}\) | \(\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = -2\) |
| \((\sqrt[m]{x})^m = x\) | \((\sqrt[3]{-2})^3 = -2\) |
| \(\sqrt[m]{x^m} = |x|\) si \(m\) es par | \(\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2\) |
| \(\sqrt[m]{x^m} = x\) si \(m\) es impar | \(\sqrt[5]{(-2)^5} = -2\) |
Usa las reglas anteriores para simplificar las siguientes expresiones y reescribirlas con exponentes positivos. Nota: en algunos casos necesitarás usar más de una regla.