Preguntas para Simplificar Exponentes y Radicales

Revisa y utiliza las reglas para radicales y exponentes para simplificar expresiones con exponentes y radicales. A continuación se presentan preguntas con soluciones detalladas y explicaciones. Intenta no usar la calculadora para simplificar expresiones numéricas, excepto para verificar tus respuestas. Este sitio también incluye más preguntas sobre cómo simplificar expresiones radicales.

Simplificar Expresiones Numéricas con Exponentes

Pregunta 1

Evalúa las siguientes expresiones:

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( 12^0 \)
  5. \( 0^{20} \)
  6. \( 0^{-4} \)
  7. \( (-1)^7 \)
  8. \( (-1)^4 \)
  9. \( (-1)^{-3} \)
  10. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  11. \( \dfrac{(-2)^{-2}}{4^{-2}} \)
  12. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
  13. \( x^4 \) para \( x = -2 \)
  14. \( -x^2 \) para \( x = -3 \)
  15. \( -x^5 \) para \( x = -2 \)
  16. \( x^4 \) para \( x = -\dfrac{2}{3} \)
  17. \( -x^{-2} \) para \( x = -\dfrac{1}{2} \)
  18. \( -x^5 \) para \( x = -\dfrac{1}{3} \)

Simplificar Expresiones Numéricas con Radicales y Exponentes Racionales

Pregunta 2

Evalúa las siguientes expresiones:

  1. \( \sqrt{64} \)
  2. \( \sqrt[3]{-8} \)
  3. \( 4^{3/2} \)
  4. \( 8^{2/3} \)
  5. \( 0.0001^{3/4} \)
  6. \( 16^{-3/4} \)
  7. \( \sqrt{2} \sqrt{8} \)
  8. \( \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{32} \)
  9. \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} \)
  10. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
  11. \( -2 (\sqrt[6]{8})(5\sqrt[6]{8}) \)
  12. \( \dfrac{-4 \sqrt[3]{375}}{2\sqrt[3]{3}} \)

Simplificar Expresiones Algebraicas con Exponentes

Pregunta 3

Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( x^2 \cdot x^5 \)
  2. \( \dfrac{y^4}{y^2} \)
  3. \( (x^2)^{-2} \)
  4. \( 3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) \)
  5. \( (2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) \)
  6. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  7. \( \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} \)
  8. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  9. \( (3x^2 y^3)(2x^5 y^{-2}) \)
  10. \( (-2x^2 y^3 z^4)(-4x^3 y z^{-8})(5x y^2 z^2) \)
  11. \( (-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 \)
  12. \( \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) \)
  13. \( \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) \)
  14. \( \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) \)
  15. \( (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) \)
  16. \( (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} \)
  17. \( (- 27 x^{3/2})^{1/3} \)
  18. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
  19. \( x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} \)

Simplificar Expresiones Algebraicas con Radicales

Pregunta 4

Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( \sqrt{x^2} \)
  2. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  3. \( \sqrt{(2x - 1)^2} \)
  4. \( \sqrt[3]{-27x^3} \)
  5. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  6. \( \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} \)
  7. \( \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} y \)
  8. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
  9. \( (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Solución a la Pregunta 1

Evalúa las siguientes expresiones:

  1. \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
  2. \(-3^4 = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81\)
  3. \((-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81\)
  4. \(12^0 = 1\)
  5. \(0^{20} = 0\)
  6. \(0^{-4} = \dfrac{1}{0^4} = \dfrac{1}{0}\) : indefinido porque la división por cero no está permitida en matemáticas.
  7. \((-1)^7 = -1\)
  8. \((-1)^4 = 1\)
  9. \((-1)^{-3} = \dfrac{1}{(-1)^3} = \dfrac{1}{-1} = -1\)
  10. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = (-1)^2 \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\)
  11. \(\dfrac{(-2)^{-2}}{4^{-2}} = \dfrac{4^2}{(-2)^2} = \dfrac{16}{4} = 4\)
  12. \(-3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{(-2)^2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{23}{108}\)
  13. \(x^4\) para \(x = -2\) : \(x^4 = (-2)^4 = 16\)
  14. \(-x^2\) para \(x = -3\) : \(- x^2 = -(-3)^2 = -9\)
  15. \(-x^5\) para \(x = -2\) : \(- x^5 = -(-2)^5 = 32\)
  16. \(x^4\) para \(x = -\dfrac{2}{3}\) : \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{(-2)^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}\)
  17. \(-x^{-2}\) para \(x = -\dfrac{1}{2}\) : \(- x^{-2} = -\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = -(-1)^{-2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = -1 \cdot \left(\dfrac{2}{1}\right)^2 = -\dfrac{4}{1} = -4\)
  18. \(-x^5\) para \(x = -\dfrac{1}{3}\) : \(- x^5 = -\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5 = -(-1)^5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = -(-1) \cdot \dfrac{1}{243} = \dfrac{1}{243}\)

Solución a la Pregunta 2

Evalúa las siguientes expresiones:

  1. \(\sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8\)
  2. \(\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2\)
  3. \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\)
  4. \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)
  5. \(0.0001^{3/4} = (\sqrt[4]{0.0001})^3 = (\sqrt[4]{\dfrac{1}{10000}})^3 = (\sqrt[4]{\dfrac{1}{10^4}})^3 = \left(\dfrac{1}{10}\right)^3 = \dfrac{1}{10^3} = 0.001\)
  6. \(16^{-3/4} = \dfrac{1}{16^{3/4}} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
  7. \(\sqrt{2} \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\)
  8. \(\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2 \times 32} = \sqrt[3]{64} = 4\)
  9. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{2}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
  10. \(\dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2\)
  11. \(-2 (\sqrt[6]{8})(5\sqrt[6]{8}) = (-2 \times 5)\sqrt[6]{8 \times 8} = -10\sqrt[6]{64} = -10\sqrt[6]{2^6} = -10(2) = -20\)
  12. \(\dfrac{-4\sqrt[3]{375}}{2\sqrt[3]{3}} = \left(\dfrac{-4}{2}\right)\sqrt[3]{\dfrac{375}{3}} = -2\sqrt[3]{125} = -2 \times 5 = -10\)

Solución a la Pregunta 3

Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( x^2 \cdot x^5 = x^{2 + 5} = x^7 \)
  2. \( \frac{y^4}{y^2} = y^{4 - 2} = y^2 \)
  3. \( (x^2)^{-2} = x^{2 \times (-2)} = x^{-4} = \frac{1}{x^4} \)
  4. \(3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) = (3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} ) x^{4 + 3} = \dfrac{1}{2} x^7\)
  5. \((2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) = 2^4 x^4 (\dfrac{1}{4} x^{-3}) = (2^4 \times \dfrac{1}{4}) x^{4-3} = 4 x\)
  6. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} = \dfrac{3^2 x^2 (-2)^3 x^3}{2^2 x^2} = \dfrac{3^2 (-2)^3}{2^2} \dfrac{x^3}{x^2} = - 18 x \)
  7. \( \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} = \dfrac{4^2 x^2 \times 1}{3^2 x^2} = 16/9 \)
  8. \( (-2x^2 y^{-3})^3 = (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8 x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  9. \((3x^2 y^3)(2x^5 y^{-2}) = (3 \times 2)(x^2 x^5)(y^3 y^{-2}) = 6x^{2 + 5} y^{3 - 2} = 6x^7 y\)
  10. \((-2x^2 y^3 z^4)(-4x^3 y z^{-8})(5x y^2 z^2) = (-2 \times -4 \times 5)(x^2 x^3 x)(y^3 y y^2)(z^4 z^{-8} z^2) = 40x^{2 + 3 + 1} y^{3 + 1 + 2} z^{4 - 8 + 2} = 40x^6 y^6 z^{-2} = \dfrac{40x^6 y^6}{z^2}\)
  11. \((-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 = (-2)^2 x^2 y^4 \left (\dfrac{x^{18}}{(2x)^6} \right) = \dfrac{4x^2 y^4x^{18}}{2^6 x^6} = \dfrac{4}{2^6} \dfrac{x^{2+18}y^4}{x^6} = \dfrac{1}{16} {x^{14} y^4} \)
  12. \( \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) = \dfrac{4}{-8} \; \dfrac{x^6 y^3}{x^3y^{-2}} = -\dfrac{1}{2} x^{6-3} y^{3-(-2)} = -\dfrac{1}{2} x^3 y^5 \)
  13. \( \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) = \dfrac{(- 4 \times 3)}{(3 \times (-6))} \dfrac{(x^3 y^2)(x^2 y^5)}{(x^3 y^3)(x^3y^2)} = \dfrac{2}{3} \dfrac{x^5 y^7}{x^6 y^5} = \dfrac{2}{3} x^{5-6} y^{7-5}= \dfrac{2}{3} \dfrac{y^2}{x} \)
  14. \( \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) = \dfrac{1 \times 4 \times 3}{6 \times 3 \times (-1)} \dfrac{(x^2 y z^3)(x^2 y^3)(x^2 y^5 z)}{(x^2 y^{-3}z^2)(-x^3 y^2 z^3)} = (-\dfrac{2}{3}) \dfrac{x^{2+2+2}y^{1+3+5}z^{3+1}}{x^{2+3} y^{-3+2} z^{2+3} } = - \dfrac{2}{3} \dfrac{x^6 y^9 z^4}{x^5 y z^5} = - \dfrac{2}{3} \; \dfrac{x y^{10} }{z} \)
  15. \( (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) = (4 \times (-8))(x^{2/3+1/2}) = - 32 x^{7/6} \)
  16. \( (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} = 4^{3/2} x^{3/2} 9^{1/2} x^{1/2} = (\sqrt 4)^3 (\sqrt 9) x^{3/2+1/2} = 8 \times 3 x^2 = 24 x^2 \)
  17. \( (- 27 x^{3/2})^{1/3} = (- 27)^{1/3} (x^{3/2})^{1/3} = \sqrt[3]{-27} x^{3/2 \times 1/3} = - 3 x^{1/2} = - 3 \sqrt x \)
  18. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} = \dfrac{(-8x^3)^{2/3}} {(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}} {(y^{-6 \times (2/3)}} = \dfrac{(\sqrt[3]{-8})^2 (x^{3 \times (2/3)})} {(y^{-4})} = 4 x^2 y^4 \)
  19. \( x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} = x^{5/3+1/6 -11/6} = x^0 = 1 , x \ne 0 \)

Solución a la Pregunta 4

  1. \( \sqrt{x^2} = | x | \)
  2. \( \sqrt[4]{16x^4} = \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 4 | x | \)
  3. \( \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1| \)
  4. \( \sqrt[3]{-27x^3} = \sqrt[3]{-27} \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{(-3)^3} \sqrt[3]{x^3} = - 3 x \)
  5. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} = \sqrt[3]{8} \sqrt[3]{ x^6} \sqrt[3]{y^3} = 2 x^{6/3} y = 2 x^2 y \)
  6. \( \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} = \sqrt{x^3 x^2} = \sqrt{x^{3+2}} = \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \times x} = x^2 \sqrt x \)
  7. \( \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} = \dfrac{\sqrt[3]{-8x^6}}{\sqrt[3]{y^{-3}}} = \dfrac{\sqrt[3]{-8} \sqrt[3]{x^6}} {\sqrt[3]{y^{-3} }} = \dfrac{\sqrt[3]{(-2)^3} \sqrt[3]{(x^2)^3}} {\sqrt[3]{(y^{-1})^3 }} = \dfrac{-2 x^2}{y^{-1}} = -2 x^2 y \)
  8. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} = \sqrt[5] {\dfrac{64x^9 y^7}{2 x^4 y^2}} = \sqrt[5] {32 x^{9-4} y^{7-2}} = \sqrt[5] {2^5} \sqrt[5] x^{5} \sqrt[5] y^{5} = 2 x y \)
  9. \( (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) = (4 \times 5) \sqrt[8]{b^2 b^3 b^3 } = 20 \sqrt[8]{b^8 } = 20 |b| = 20 b \)
    Nota: En la última pregunta, dado que \( \sqrt[8]{b^3} \) es real, entonces b es mayor o igual a cero. Por lo tanto, |b| = b.

Más Referencias y Enlaces

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