Ángulos especiales en el círculo de unidades

Cómo usar la simetría de un círculo unitario para encontrar valores de las funciones seno y coseno a los ángulos relacionados por simetría a los ángulos especiales π/6, π/4 e π/3?



Ángulos especiales en el círculo de unidades

Cualquier línea a través del centro de un círculo es una línea de simetría. El centro del círculo es el punto de simetría. Ahora consideramos un círculo unitario con centro en el origen de un sistema de ejes xey. Estamos aquí interesados en las simetrías con respecto al origen, al eje x y al eje y.

Conociendo los valores del seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, es más fácil usar la simetría de la unidad circule para obtener el seno y el coseno de los ángulos en los otros cuadrantes.

El círculo unitario a continuación muestra los valores de las funciones seno y coseno (coordenadas en azul, con la coordenada x siendo el coseno y la coordenada y es el seno) para los ángulos especiales:

0, π/6 (30 °), π/4 (45 °), π/3 (60 °), π/2 (90 °), 2π/3 (120 °), 5π/4 (135 °) ...

círculo de unidad principal.

Pregunta: Cómo encontrar el seno y el coseno de un ángulo entre 0 e 2π relacionado por simetría a cualquiera de los ángulos π/6, π/4 o π/3?


Ejemplo 1: Considera los ángulos: 2π/3, 4π/3 and 5π/3. Todos tienen una relación con π/3:

2π/3 = π - π/3 (simetría con respecto al eje y, ver unidad de círculo arriba)

Por lo tanto: cos(2π/3) = - cos(π/3) = -1/2 e sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2

4π/3 = π + π/3 (simetría con respecto al origen)

Por lo tanto: cos(4π/3) = - cos(π/3) = -1/2 e sin(4π/3) = - sin(π/3) = - √3/2

5π/3 = 2π - π/3 (simetría con respecto al eje x)

Por lo tanto: cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2 e sin(5π/3) = - sin(π/3) = - √3/2

NOTA que el seno y el coseno de π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3 son todos iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales. Por lo tanto sabiendo eso cos(π/3) = 1/2 and sin(π/3) = √3 / 2, el seno y el coseno de 2π/3, 4π/3 e 5π/3 se obtienen fácilmente de cos(π/3) = 1/2 e sin(π/3) = √3 / 2 usando el simetría del círculo unitario y cambiando el signo.


Ejemplo 2: Considera los ángulos: 5π/6, 7π/6 and 11π/6. Todos tienen una relación con π/6:

5π/6 = π - π/6 (simetría con respecto al eje y)

Por lo tanto: cos(5π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 e sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2

7π/6 = π + π/6 (simetría con respecto al origen)

Por lo tanto: cos(7π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 e sin(7π/6) = - sin(π/6) = -1/2

11π/6 = 2π - π/6 (simetría con respecto al eje x)

Por lo tanto: cos(11π/6) = cos(π/6) = √3/2 e sin(11π/6) = - sin(π/6) = - 1/2

NOTA que el seno y el coseno de π/6, 5π/6, 7π/6 e 11π/6 son todos iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales.


Ejemplo 3: Considera los ángulos: 3π/4, 5π/4 and 7π/4. Todos tienen una relación con π/4:

3π/4 = π - π/4 (simetría con respecto al eje y)

Por lo tanto: cos(3π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 and sin(3π/4) = sin(π/4) = √2/2

5π/4 = π + π/4 (simetría con respecto al origen)

Por lo tanto: cos(5π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 and sin(5π/4) = - sin(π/4) = - √2/2

7π/4 = 2π - π/4 (simetría con respecto al eje x)

Por lo tanto: cos(7π/4) = cos(π/4) = √2/2 and sin(7π/4) = - sin(π/4) = - √2/2

NOTA que el seno y el coseno de π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4 son todos iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales.


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