Encontrar una función sinusoidal dada su gráfica

Paso 1: Encontrar el desplazamiento vertical y la amplitud
La escala a lo largo del eje y es de una unidad por división grande. El valor máximo es \( y_{\text{max}} = 1 \) y el mínimo es \( y_{\text{min}} = -7 \).
Desplazamiento vertical (\(c\)): \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] Amplitud (\(a\)): \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] Como seguiremos un punto máximo para determinar el desplazamiento, podemos usar una función coseno positiva, por lo tanto \( a = 4 \).

Paso 2: Encontrar el periodo y \(b\)
La escala a lo largo del eje x es \( \pi \) para una división grande y \( \dfrac{\pi}{5} \) para una división pequeña.
Los puntos A y B son máximos consecutivos. La distancia horizontal entre ellos es el periodo \( P = 5\pi \).
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

Paso 3: Encontrar el desfase (\(d\))
Usamos la forma de coseno: \( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \).
La función coseno sin desplazar tiene un máximo en \( x = 0 \). Nuestra gráfica tiene un máximo en el punto A, que está una división pequeña a la izquierda del eje y: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \). Por lo tanto, \( d = -\dfrac{\pi}{5} \).

Conclusión:
Sustituyendo todos los valores, la ecuación es: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

Paso 1: Encontrar el desplazamiento vertical y la amplitud
Una división grande en el eje y es 1 unidad, por lo que una división pequeña es \( 0.2 \). De la gráfica, \( y_{\text{max}} = 0.2 \) y \( y_{\text{min}} = -1.4 \).
\[ c = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \] \[ |a| = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] Usaremos una función coseno positiva, por lo tanto \( a = 0.8 \).

Paso 2: Encontrar el periodo y \(b\)
El eje x tiene divisiones grandes de \( \pi \). Los puntos A y B son máximos consecutivos en \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \) y \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
El periodo es la distancia entre A y B: \( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = 4\pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

Paso 3: Encontrar el desfase (\(d\))
Usando la función coseno, el máximo ocurre en el punto A, donde \( x = \dfrac{\pi}{2} \). Esto significa que la gráfica está desplazada a la derecha por \( \dfrac{\pi}{2} \), por lo tanto \( d = \dfrac{\pi}{2} \).

Conclusión:
La ecuación de la gráfica es: \[ \mathbf{y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6} \]

Paso 1: Encontrar el desplazamiento vertical y la amplitud
De la gráfica, \( y_{\text{max}} = 0 \) y \( y_{\text{min}} = -2 \).
\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] La línea central vertical está en \( y = -1 \).

Paso 2: Encontrar el periodo y \(b\)
Los puntos A y B marcan un ciclo de onda completo a lo largo de la línea central. El punto A está en \( x = 0.6 \) y el punto B está en \( x = 2.6 \).
Periodo \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

Paso 3: Encontrar el desfase (\(d\))
Estamos usando la función seno: \( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \).
La función seno sin desplazar comienza en su línea central (\( y=-1 \)) y sube. Nuestra gráfica hace exactamente esto en el punto A, donde \( x = 0.6 \) (o \( \dfrac{3}{5} \)). Por lo tanto, el desplazamiento a la derecha es \( d = 0.6 \). Como la gráfica sube desde ahí, \( a \) permanece positivo \( 1 \).

Conclusión:
La ecuación de la gráfica es: \[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

Paso 1: Encontrar el desplazamiento vertical y la amplitud
Desde el eje y, \( y_{\text{max}} = -1 \) y \( y_{\text{min}} = -3 \).
\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \] Usando una función coseno positiva, \( a = 1 \).

Paso 2: Encontrar el periodo y \(b\)
Los puntos A y B son máximos consecutivos ubicados en \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) y \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Periodo \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

Paso 3: Encontrar el desfase (\(d\))
El máximo ocurre en el punto A, donde \( x = \dfrac{3\pi}{5} \). Este es nuestro desplazamiento horizontal a la derecha, por lo tanto \( d = \dfrac{3\pi}{5} \).

Conclusión:
La ecuación de la gráfica es: \[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

Paso 1: Encontrar la amplitud y el desplazamiento vertical
El máximo es \( 1 \) y el mínimo es \( -5 \).
\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
La amplitud estándar es \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \). Como el problema requiere \( a < 0 \), debemos usar una curva de coseno reflejada, por lo tanto \( a = -3 \).

Paso 2: Encontrar el periodo y \( b \)
La distancia horizontal entre un mínimo y el *siguiente* máximo representa exactamente la mitad de un periodo.
Medio periodo = \( 4 - 0 = 4 \). Por lo tanto, el periodo completo \( P = 8 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

Paso 3: Encontrar el desfase
Una curva de coseno negativa estándar \( (- \cos) \) comienza en su mínimo en el eje y (donde \( x=0 \)). Como el mínimo de nuestra gráfica también está en \( x = 0 \), no se requiere ningún desfase horizontal. Por lo tanto, \( d = 0 \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

Paso 1: Encontrar la amplitud y el desplazamiento vertical
Máx \( = 24 \), Mín \( = 18 \).
Desplazamiento vertical (temp promedio): \( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
Amplitud: \( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

Paso 2: Encontrar el periodo y \( b \)
El tiempo entre el mínimo (\( t=2 \)) y el máximo (\( t=14 \)) es de 12 horas. Esto representa medio ciclo.
Periodo \( P = 24 \) horas.
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

Paso 3: Encontrar el desfase para el seno
Una función seno positiva comienza en su línea central (\( y=21 \)) y va *hacia arriba*. Necesitamos encontrar el tiempo \( t \) en el que esto ocurre. El punto central subiendo ocurre exactamente a la mitad entre el mínimo y el máximo.
Punto medio en el tiempo: \( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \) (que son las 8:00 AM).
Por lo tanto, la onda senoidal comienza su ciclo en \( t = 8 \), lo que significa que el desplazamiento es \( d = 8 \).

Conclusión:
\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

Paso 1: Sustituir el punto
Conecta \( x = \dfrac{\pi}{9} \) e \( y = 6.5 \) en la ecuación:
\[ 6.5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

Paso 2: Aislar el término seno
Resta 4 de ambos lados:
\[ 2.5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
Divide por 5:
\[ 0.5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

Paso 3: Resolver la ecuación trigonométrica
Sabemos que la función seno es igual a \( 0.5 \) en ángulos como \( \dfrac{\pi}{6} \) y \( \dfrac{5\pi}{6} \). Igualemos la expresión interna a estos valores principales.

Caso 1:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

Caso 2:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Dado que el problema pide el valor positivo más pequeño, seleccionamos el resultado del Caso 1.

Conclusión:
El valor positivo más pequeño es \( C = \dfrac{\pi}{6} \).