Cómo encontrar la ecuación de una función sinusoidal
de la forma
y = a sin[ b ( x - d) ] + c o y = a cos [ b ( x - d ) ] + c
dada su gráfica.
Encuentre una función sinusoidal para cada una de las siguientes gráficas
Pregunta 1
Solución a la pregunta 1
La escala a lo largo del eje y es una unidad para una división grande y por lo tanto el valor máximo de y: ymax = 1 y el valor mínimo de y: y mínimo = - 7.
La escala a lo largo del eje x es π para una división grande y π/5 para una división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 5π. Estos puntos son útiles porque son puntos máximos con coordenadas claras.
Dado que A y B son puntos máximos, es más fácil escribir una ecuación para la gráfica como y = a cos[ b(x - d) ] + c asumiendo que originalmente es un cos(x), que comienza con un máximo en x = 0, que se transforma mediante desplazamiento vertical y horizontal (traslación) y estiramiento/reducción vertical y horizontal.
Calculemos a y c.
|a| = (ymax - ymin) = (1 - (-7)) / 2 = 4. Lo que da dos valores posibles para a: a = 4 o a = - 4
La gráfica entre A y B no se refleja en comparación con el período de cos(x) entre 0 y 2π y por tanto podemos tomar a = 4.
c = (ymáx + ymín) = (1 + (-7)) / 2 = - 3
Período: P = 2π|b|= 5π
resuelve lo anterior para |b| para obtener: |b| = 2/5.
Nuevamente aquí tenemos dos valores posibles para b: b = 2/5 y b = -2/5. Tomamos b = 2/5 para facilitar nuestros cálculos para d.
Ahora escribimos la función para la gráfica de la siguiente manera:
y = 4 cos[ (2/5)(x - d) ] - 3
d indica el cambio. El desplazamiento se determina comparando las gráficas de y = 4 cos[ (2/5)(x) ] - 3 (nota d = 0) y la gráfica dada. Observamos que el desplazamiento (coordenada x del punto A) d = - π/5 del gráfico (una pequeña división a la izquierda). Por tanto la ecuación de la gráfica es:
Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado comprobando algunos puntos.
Punto A: x = -π/5; evaluar y en este valor de x.
y( - π/5)= 4 cos[ (2/5)( - π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 0 ) ] - 3 = 1 cual corresponde al valor en el gráfico.
Punto B: x = 4π + 4π/5 = 24π/5 ( 4 divisiones pequeñas después de 4π)
y( 24π/5 )= 4 cos[ (2/5)( 24π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 25π/5) ] - 3 = 4 porque[ (2/5)( 5π) ] - 3 = 4 porque[ (2π) ] - 3 = 1
que corresponde al valor en el gráfico.
Pregunta 2
Solución a la pregunta 2
Valor máximo de y: ymax = 0,2 y valor mínimo de y: ymin = - 1,4 (una división grande a lo largo del El eje y es igual a 1 unidad (una pequeña división es 1/5 = 0,2).
La escala a lo largo del eje x es π para una división grande y π/5 para una división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 4π.
Las coordenadas de los puntos A y B son: A(π/2, 0.2), B(9π/2, 0.2).
Se puede suponer que la gráfica entre A y B es la de un cos(x) que ha sido transformado. Por lo tanto, una posible ecuación para la gráfica dada es: y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Calculemos a y c.
|a| = (ymáx - ymín) = (0,2 - (-1,4)) / 2 = 0,8. Lo que da dos valores posibles para a: a = 0,8 o a = - 0,8
El período entre A y B no se refleja en comparación con el período de cos(x) entre 0 y 2π y por tanto podemos tomar a = 0,8.
c = (ymáx + ymín) = (0,2 + (-1,4)) / 2 = - 0,6
Período: P = 2π|b|= 4π
resolver para |b| para obtener: |b| = 1/2. Nuevamente aquí tenemos dos valores posibles para b: b = 1/2 y b = - 1/2. Tomamos b = 1/2 para facilitar nuestros cálculos para d.
Ahora escribimos la función para la gráfica de la siguiente manera:
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - d) ] - 0,6
d indica el cambio. El cambio se determina comparando las gráficas de y = 0,8 cos[ (1/2)(x) ] - 0,6 (nota d = 0) y la gráfica dada. Observamos que el desplazamiento (coordenada x del punto A) d = π/2 de la gráfica (la mitad de una división grande a la derecha). Por tanto la ecuación de la gráfica es:
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - π/2) ] - 0,6
Comprobar respuesta encontrada
Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado comprobando algunos puntos.
Punto A: x = π/2; evaluar y en este valor de x.
y(π/2)= 0,8 cos[ (1/2)(π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (0) - 0,6 = 0,2 , que corresponde al valor de la gráfica.
Punto B: x = 4π + π/2 = 9π/2 (media división grande después de 4π)
y( 9π/2 )= 0,8 cos[ (1/2)(9π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (2π) - 0,6 = 0,2
que es igual al valor en el gráfico.
Pregunta 3
Solución a la pregunta 3
Valor máximo de y: ymax = 0 y el valor mínimo de y: ymin = - 2 (una división grande a lo largo del eje y es igual a 1 unidad).
La escala a lo largo del eje x es 1 unidad para una división grande y 1/5 = 0,2 para una división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que se calcula de la siguiente manera: P = 2,6 - 0,6 = 2.
Las coordenadas de los puntos A y B son: A(0,6, 0), B(2,6, 0).
Se puede suponer que la gráfica entre A y B es la de un sen(x) que ha sido transformado. Por lo tanto, una posible ecuación para la gráfica dada es: y = a sin[ b(x - d) ] + c.
Calculemos a y c.
|a| = (ymax - ymin) = (0 - (-2)) / 2 = 1. Lo que da dos valores posibles para a: a = 1 o a = - 1
El período entre A y B no se refleja en comparación con el período de sin(x) entre 0 y 2π y por tanto podemos tomar a = 1.
c = (ymáx + ymín) = (0 + (-2)) / 2 = - 1
Período: P = 2π|b|= 2;
resolver para |b| para obtener: |b| = π. Nuevamente aquí tenemos dos valores posibles para b: b = π y b = - π. Tomamos b = π para simplificar nuestros cálculos para d.
Comprobar respuesta encontrada
Ahora escribimos la función para la gráfica de la siguiente manera:
y = pecado[ π(x - d) ] - 1
d indica el cambio. El cambio se determina comparando las gráficas de y = sin[ π(x) ] - 1 (nota d = 0) y la gráfica dada. Observamos el desplazamiento (coordenada x de A) d = 0,6 del gráfico; desplazamiento hacia la derecha. Por tanto la ecuación de la gráfica es:
Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado comprobando algunos puntos.
Punto A: x = 0,6; evaluar y en este valor de x.
y( 0.6)= sin[ π(0.6 - 3/5) ] - 1 = sin[ π(0) ] - 1 = -1 , que corresponde al valor en el gráfico.
Punto B: x = 1,6
y( 1.6)= sin[ π(1.6 - 3/5) ] - 1 = sin(π) - 1 = -1 , que corresponde al valor en el gráfico.
Verificar los valores en A y B no es suficiente porque darían los mismos valores si se usara la función - sin[ πx - 3π/5) ] - 1. Necesitamos verificar un máximo o un mínimo al lado de A y B. El primer punto máximo después del punto A está en x = 1 + (1/2)0,2 = 1,1
y( 1.1)= sin[ π(1.1 - 3/5) ] - 1 = sin (0.5 π) - 1 = 0 , que corresponde al valor en el gráfico.
Pregunta 4
Solución a la pregunta 4
Valor máximo de y: ymax = -1 y valor mínimo de y: ymin = - 3 (una división grande a lo largo el eje y es igual a 1 unidad (una pequeña división es 1/5 = 0,2). La escala a lo largo del eje x es π/5 para una división grande y π/25 para una división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 8π/5 - 3π/5 = π.
Las coordenadas de los puntos A y B son: A(3π/5 , - 1) , B(8π/5 , - 1).
El periodo entre A y B puede considerarse como el de un cos(x) que ha sido transformado. Por lo tanto, una posible ecuación para la gráfica dada es: y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Calculemos a y c.
|a| = (ymax - ymin) = (-1 - (-3)) / 2 = 1. Lo que da dos valores posibles para a: a = 1 o a = - 1 .
El período entre A y B no se refleja en comparación con el período de cos(x) entre 0 y 2π y por tanto podemos tomar a = 1.
c = (ymáx + ymín) = (-1 + (-3)) / 2 = - 2
Período: P = 2π|b|= π
resolver para |b| para obtener: |b| = 2. Dos valores posibles para b: b = 2 y b = - 2. Tomamos b = 2 para facilitar nuestros cálculos para d.
Ahora escribimos la función para la gráfica de la siguiente manera:
y = cos[ 2(x - d) ] - 2
La coordenada x del punto A indica el desplazamiento d que se determina comparando las gráficas de y = cos[ 2(x) ] - 2 (nota d = 0 ) y la gráfica dada. Observamos que d = 3½/5 del gráfico. Por tanto la ecuación de la gráfica es:
y = cos[ 2(x - 3π/5) ] - 2
Comprobar respuesta encontrada
Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado comprobando algunos puntos.
Punto A: x = 3π/5 evalúe y en este valor de x.
y( 3π/5 )= cos[ 2(3π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos(0) - 2 = - 1 , que corresponde al valor en el gráfico.
Punto B: x = 8π/5
y( 8π/5 )= cos[ 2(8π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos (2π) - 2 = - 1
que es igual al valor en el gráfico.
