Encontrar el periodo de funciones trigonométricas - Matemáticas grado 12

Paso 1: Identificar ciclos completos en la gráfica.
Localiza ceros que delimiten un ciclo completo o un número entero de ciclos. En este ejemplo, observando el intervalo de $x = 0$ a $x = 1$, podemos contar exactamente dos ciclos de onda completos.

Paso 2: Calcular el periodo experimental.
Debido a que dos ciclos caben en una distancia horizontal de $1 - 0 = 1$, el periodo $P$ (la longitud de un ciclo) es: $$P = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$$

Paso 3: Resolver para el parámetro $b$.
La fórmula para el periodo de una onda senoidal es $P = \frac{2\pi}{b}$. Igualamos esto a nuestro periodo encontrado: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos en cruz y despejamos $b$: $$b = 4\pi$$

Paso 1: Encontrar la distancia de un ciclo completo.
Observa los cruces por cero. La gráfica inicia un ciclo en $x = -\frac{\pi}{4}$, pasa por un pico y un valle, y completa un ciclo completo en el cruce por cero $x = \frac{\pi}{4}$.

Paso 2: Calcular el periodo.
El periodo $P$ es la distancia horizontal entre estos dos puntos: $$P = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Paso 3: Resolver para el parámetro $b$.
Iguala el periodo gráfico a la fórmula algebraica $P = \frac{2\pi}{b}$: $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{b}$$ Multiplica ambos lados por $2b$: $$\pi \cdot b = 4\pi \implies \mathbf{b = 4}$$

Paso 1: Identificar puntos clave para calcular la distancia.
La gráfica proporciona marcas en el eje x, pero no coordenadas directas para los picos. Sin embargo, podemos encontrar las ubicaciones exactas de los ceros (intersecciones x) tomando el punto medio entre las marcas dadas.

Cero a la izquierda (punto medio entre $-\pi/4$ y $-\pi/8$): $$x_1 = \frac{-\pi/4 + (-\pi/8)}{2} = \frac{-3\pi/8}{2} = -\frac{3\pi}{16}$$

Cero a la derecha (punto medio entre $0$ y $\pi/8$): $$x_2 = \frac{0 + \pi/8}{2} = \frac{\pi/16}$$

Paso 2: Calcular el periodo.
La distancia entre dos ceros consecutivos representa exactamente *medio* ciclo (medio periodo). $$\text{Medio Periodo} = \frac{\pi}{16} - \left(-\frac{3\pi}{16}\right) = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$ Por lo tanto, el periodo completo $P$ es el doble de esta distancia: $$P = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Paso 3: Resolver para $b$.
$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{b = 4}$$

Paso 1: Entender la relación entre extremos.
La distancia horizontal a lo largo del eje x entre un máximo consecutivo (Punto A en $x = \frac{3\pi}{6}$) y un mínimo (Punto B en $x = \frac{7\pi}{6}$) es exactamente igual a medio periodo.

Paso 2: Calcular el periodo.
Primero, encuentra la distancia entre A y B: $$\text{Distancia} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ El periodo completo $P$ es el doble de esta distancia: $$P = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Paso 3: Resolver para $b$.
Iguala la fórmula algebraica al periodo numérico: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}$$ Multiplica en cruz: $6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}$

Paso 1: Encontrar el periodo directamente.
La distancia horizontal entre dos puntos mínimos consecutivos representa exactamente un ciclo completo. Por lo tanto, el periodo $P$ es simplemente la diferencia entre sus coordenadas x: $$P = 0.1 - (-0.3) = 0.4$$

Paso 2: Resolver para $b$.
Usando la fórmula del periodo $P = \frac{2\pi}{b}$: $$\frac{2\pi}{b} = 0.4$$ $$0.4b = 2\pi \implies b = \frac{2\pi}{0.4} = \frac{20\pi}{4} = \mathbf{5\pi}$$

1. Para $y = \sin(x)\cos(x) - 3$:
   Usa la identidad del ángulo doble: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. Dividir por 2 da $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
   Reescribe la función: $$y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3$$ El multiplicador interno es $b=2$. Periodo: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
2. Para $y = 2 + 5\cos^2(x)$:
   Usa la identidad de reducción de potencia: $\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)$.
   Reescribe la función: $$y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}$$ El multiplicador interno es $b=2$. Periodo: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
3. Para $y = \cos(x) + \sin(x)$:
   Reescribe esto como una única onda sinusoidal con desfase. Multiplica y divide por $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$: $$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)$$ $$y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)$$ Usando la fórmula de adición de ángulos $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$: $$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ El multiplicador interno es $b=1$. Periodo: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}$$

Por definición, si $p$ es el periodo de la función $f$, entonces: $$f(x+p) = f(x) \quad \text{para todo } x$$

Realicemos una sustitución donde $x = kX$, obteniendo: $$f(kX+p) = f(kX)$$

Ahora, factoriza la constante $k$ del argumento del lado izquierdo: $$f\left(k\left(X+\frac{p}{k}\right)\right) = f(kX)$$

Porque definimos $h(x) = f(kx)$, podemos sustituir $h$ en nuestra ecuación: $$h\left(X+\frac{p}{k}\right) = h(X)$$

Esta declaración define una nueva función periódica $h$. Indica que desplazar la entrada por $\frac{p}{k}$ produce el valor original de la función. Por lo tanto, $h(x) = f(kx)$ es periódica con un periodo de: $$\mathbf{\frac{p}{k}}$$

Paso 1: Encontrar el periodo de cada término individual.
Para el primer término, $y_1 = 3\sin(4x)$, el parámetro $b = 4$. Su periodo es: $$P_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ Para el segundo término, $y_2 = 2\cos(6x)$, el parámetro $b = 6$. Su periodo es: $$P_2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Paso 2: Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM).
El periodo de una suma de funciones periódicas es el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de sus periodos individuales. Necesitamos encontrar el MCM de $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{3}$.
Para encontrar el MCM de fracciones, exprésalas con un denominador común. El mínimo común denominador para $2$ y $3$ es $6$: $$P_1 = \frac{3\pi}{6}$$ $$P_2 = \frac{2\pi}{6}$$ El MCM de los numeradores ($3\pi$ y $2\pi$) es $6\pi$. Divide esto por el denominador común: $$\text{MCM} = \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\pi}$$

Paso 1: Encontrar el periodo de la función base.
Ignora el valor absoluto primero. La función base es $f(x) = \sin(2x)$. El periodo de esta onda senoidal es: $$P_{\text{base}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Paso 2: Analizar el efecto del valor absoluto.
Una onda senoidal estándar oscila por encima y por debajo del eje x, completando una joroba positiva y un valle negativo sobre su periodo completo de $\pi$.
Tomar el valor absoluto fuerza al valle negativo a reflejarse hacia arriba sobre el eje x, convirtiéndose en una joroba positiva idéntica. Debido a que la primera mitad del ciclo y la segunda mitad del ciclo ahora se ven perfectamente idénticas, el patrón se repite dos veces más rápido.
Por lo tanto, aplicar un valor absoluto a una onda de seno o coseno reduce a la mitad su periodo fundamental.

Paso 3: Calcular el periodo final.
$$P = \frac{P_{\text{base}}}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}}$$

Paso 1: Recordar el periodo tangente estándar.
A diferencia de las funciones seno y coseno cuyo periodo fundamental es $2\pi$, el periodo base fundamental de la función tangente $y = \tan(x)$ es $\pi$. Por lo tanto, la fórmula para el periodo de $y = a\tan(bx - c)$ es $P = \frac{\pi}{|b|}$.

Paso 2: Identificar el parámetro $b$.
Mirando el argumento de la función tangente $\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$, el multiplicador de la variable $x$ es $b = \frac{\pi}{3}$. (Nota: el $-\frac{\pi}{4}$ es un desfase y no afecta la longitud del periodo).

Paso 3: Calcular el periodo.
$$P = \frac{\pi}{\frac{\pi}{3}} = \pi \times \frac{3}{\pi} = \mathbf{3}$$

El periodo tiene una longitud de exactamente $3$ unidades.