Encontrar funciones trigonométricas dadas sus gráficas (Desplazamiento vertical)

a) Encontrar el máximo y el mínimo:
Sabemos que el rango estándar de la función seno básica está entre -1 y 1:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]

Multiplica todas las partes por la amplitud \( a \) (asumiendo \( a > 0 \)):
\[ -a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]

Suma el desplazamiento vertical \( d \) a todas las partes:
\[ -a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]

Esto nos indica los puntos más altos y más bajos de la función:
\[ \mathbf{\text{máx} = d + a \quad \text{y} \quad \text{mín} = d - a} \]

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b) Resolver para \( a \) y \( d \):
Trata las ecuaciones del apartado (a) como un sistema de ecuaciones lineales:
1) \( d + a = \text{máx} \)
2) \( d - a = \text{mín} \)

Para encontrar \( d \): Suma las dos ecuaciones:
\( (d + a) + (d - a) = \text{máx} + \text{mín} \)
\( 2d = \text{máx} + \text{mín} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2}} \)

Para encontrar \( a \): Resta la ecuación 2 de la ecuación 1:
\( (d + a) - (d - a) = \text{máx} - \text{mín} \)
\( 2a = \text{máx} - \text{mín} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{máx} - \text{mín}}{2}} \)

1. Encontrar la amplitud (\(a\)) y el desplazamiento vertical (\(d\)):
Lee los valores extremos del eje y: \( \text{máx} = 0 \) y \( \text{mín} = -4 \).
\[ d = \dfrac{0 + (-4)}{2} = \mathbf{-2} \]
\[ a = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \mathbf{2} \]

2. Encontrar el período (\(b\)):
Observando la gráfica, un ciclo completo se completa exactamente en \( x = \dfrac{4\pi}{3} \).
Período \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
Usando la fórmula: \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. Encontrar el desplazamiento de fase (\(c\)) algebraicamente:
Nuestra ecuación parcial es: \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
Necesitamos un punto claro de la gráfica para sustituir. En la intersección con el eje y, la gráfica toca el pico: \( (0, 0) \).
Sustituye \( x = 0 \) y \( y = 0 \):
\[ 0 = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}(0) + c \right) - 2 \]
\[ 2 = 2 \sin(c) \implies \sin(c) = 1 \]

La función seno es igual a 1 en \( \dfrac{\pi}{2} \) (más cualquier múltiplo de \( 2\pi \)). Elegimos el valor positivo más simple: \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]

1. Encontrar la amplitud (\(a\)) y el desplazamiento vertical (\(d\)):
De la gráfica, \( \text{máx} = \dfrac{18}{5} \) y \( \text{mín} = -\dfrac{6}{5} \).
\[ d = \dfrac{\frac{18}{5} + \left(-\frac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\frac{12}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{6}{5}} \]
\[ a = \dfrac{\frac{18}{5} - \left(-\frac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\frac{24}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{12}{5}} \]

2. Encontrar el período (\(b\)):
Los puntos dados \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (un máximo) y \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (un mínimo) representan exactamente la mitad de un ciclo de onda.
Medio período = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
Período completo \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
Usando la fórmula: \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. Encontrar el desplazamiento de fase (\(c\)) algebraicamente:
Nuestra ecuación parcial es: \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
Sustituye el punto máximo \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \):
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\left(\dfrac{3}{5}\right) + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
Resta \( \dfrac{6}{5} \) de ambos lados:
\[ \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]
Divide por \( \dfrac{12}{5} \):
\[ 1 = \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]

Seno es igual a 1 en \( \dfrac{\pi}{2} \). Por lo tanto:
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} \implies c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}} \]

Conclusión:
\[ \mathbf{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]

a) Encontrar el período:
El parámetro \( b \) dentro del coseno es \( \dfrac{\pi}{12} \).
Período \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ horas}} \).
(Esto tiene perfecto sentido lógico para un ciclo de temperatura diario.)

b) Encontrar la temperatura máxima:
La función está en el formato \( a\cos(bt) + d \). Sabemos que \( \text{máx} = d + |a| \).
Desplazamiento vertical \( d = 30 \) y amplitud \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{máx} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

c) Evaluar en momentos específicos:
• 12:00 AM (\(t = 0\)):
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)
• 6:00 AM (\(t = 6\)):
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)
• 12:00 PM (\(t = 12\)):
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)
• 6:00 PM (\(t = 18\)):
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. Encontrar la amplitud (\(a\)) y el desplazamiento vertical (\(d\)):
Máx = 120, Mín = 40.
\( d = \dfrac{120 + 40}{2} = 80 \)
\( a = \dfrac{120 - 40}{2} = 40 \)

2. Encontrar el período (\(b\)):
Si completa 5 rebotes por segundo, su frecuencia es 5 Hz. El período es el tiempo de un rebote.
Período \( P = \dfrac{1}{5} = 0.2 \) segundos.
\( 0.2 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{2\pi}{0.2} = 10\pi \).

3. Determinar la función y el desplazamiento de fase:
Debido a que comienza en su altura máxima en \( t = 0 \), se comporta perfectamente como una onda de coseno positiva. No se necesita desplazamiento de fase (\( c = 0 \)).

Conclusión:
\[ \mathbf{h(t) = 40\cos(10\pi t) + 80} \]

1. Usar el punto de origen:
La función pasa por \( (0,0) \).
\( f(0) = A \sin(B \cdot 0) + D \)
\( 0 = A(0) + D \implies \mathbf{D = 0} \).
Debido a que \( D = 0 \), la gráfica no tiene desplazamiento vertical. La línea central es el eje x.

2. Usar el punto máximo:
El valor máximo es 6. Debido a que la línea central es 0, la amplitud es exactamente la distancia desde el centro hasta el pico.
Por lo tanto, \( \mathbf{A = 6} \).

3. Encontrar el período:
Para una onda sinusoidal sin desplazar (\( D=0 \), sin desplazamiento de fase), el primer máximo ocurre exactamente a un cuarto de su período.
El pico ocurre en \( x = \dfrac{\pi}{4} \).
Por lo tanto, \( \dfrac{1}{4} \times P = \dfrac{\pi}{4} \implies P = \pi \).
Usando la fórmula del período: \( \pi = \dfrac{2\pi}{B} \implies \mathbf{B = 2} \).

Conclusión:
\( A = 6, \quad B = 2, \quad D = 0 \)
La ecuación es \( \mathbf{f(x) = 6\sin(2x)} \).

1. Identificar parámetros constantes:
El desplazamiento vertical \( D \) y el multiplicador de frecuencia \( B \) no cambian entre las formas equivalentes de seno y coseno.
\( D = 5 \)
\( B = 4 \)

2. Manejar el signo de la amplitud:
La función original tiene una amplitud negativa (\( -3 \)). Necesitamos \( A > 0 \), así que \( A = 3 \).
Para absorber el signo negativo, podemos usar la propiedad \( -\sin(\theta) = \sin(\theta \pm \pi) \).
Sumemos \( \pi \) al interior:
\( y = 3 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{2} + \pi\right) + 5 \)
\( y = 3 \sin\left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 5 \)

3. Convertir de seno a coseno:
Usa la identidad de cofunción: \( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).
Sustituye nuestra expresión interior completa como \( \theta \):
\( y = 3 \cos\left( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) + 5 \)
El \( \dfrac{\pi}{2} \) y el \( -\dfrac{\pi}{2} \) se cancelan perfectamente entre sí.

Conclusión:
La función equivalente simplificada es: \[ \mathbf{y = 3 \cos(4x) + 5} \]