Aprende a encontrar la amplitud, el período, el desfase (phase shift), el desplazamiento vertical y la ecuación de funciones trigonométricas a partir de sus gráficas. Estas propiedades clave ayudan a analizar y comprender el comportamiento de las funciones seno y coseno.
Cada pregunta incluye la gráfica de una función trigonométrica junto con soluciones paso a paso para una mejor comprensión.
Para construir una base sólida, comienza con estos tutoriales interactivos sobre el desplazamiento vertical de funciones trigonométricas.
Para una revisión más profunda de las propiedades de las funciones trigonométricas, visita esta página: Propiedades de las Funciones Trigonométricas.
Supón que una curva seno (o coseno) tiene un desplazamiento vertical, por lo que su ecuación es de la forma \( y = a \sin(bx + c) + d \).
a) Encuentra ecuaciones para el máximo y mínimo en términos de \( a \) y \( d \) (asume \( a \gt 0 \)).
b) Encuentra ecuaciones para \( a \) y \( d \) en términos del máximo y mínimo.
a) Comienza con el rango de la función \( \sin(bx + c) \), que es:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por \( a \) (donde \( a > 0 \)) para obtener:
\[ - a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]Suma \( d \) a todos los términos de la desigualdad anterior para obtener:
\[ - a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]La desigualdad anterior indica que \( y = a \sin(bx + c) + d \) tiene un valor máximo y un valor mínimo dados por:
\[ \color{red}{ \text{máx} = d + a \quad \text{y} \quad \text{mín} = d - a } \]b) Si asumimos que las fórmulas \( \text{máx} = d + a \) y \( \text{mín} = d - a \) son ecuaciones en dos variables \( d \) y \( a \), podemos resolverlas fácilmente para \( d \) y \( a \) obteniendo:
\[ \color{red}{ d = \dfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2} \quad \text{y} \quad a = \dfrac{\text{máx} - \text{mín}}{2} } \]Encuentra las constantes \( a, b, c \) y \( d \) para la curva \( y = a \sin(bx + c) + d \) graficada a continuación.
Primero, el máximo máx y el mínimo mín de la función mostrada en la gráfica son iguales a:
\[ \text{máx} = 0 \quad \text{y} \quad \text{mín} = -4 \]Usando las fórmulas obtenidas en el problema anterior, tenemos:
\[ d = \dfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2} = -2 \quad \text{y} \quad a = \dfrac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = 2 \]A continuación, encontramos el período \( p \) a partir de la gráfica de la función.
\[ p = \dfrac{4\pi}{3} \]Asumiendo \( b \) positivo, el período está dado por \( \dfrac{2\pi}{b} \). Por lo tanto, la ecuación:
\[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{4\pi}{3} \]da como resultado:
\[ b = \dfrac{3}{2} \]Ahora podemos escribir la función como:
\[ y = a \sin(bx + c) + d = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + c \right) - 2 \]Una forma de determinar \( c \) es usar un punto en la gráfica dada. Por ejemplo, para \( x = 0 \), \( y = 0 \) según la gráfica. Por lo tanto:
\[ 2 \sin(0 + c) - 2 = 0 \] \[ \sin(c) = 1 \]Esto da: \( c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \), donde \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)
Usamos \( c = \dfrac{\pi}{2} \) para escribir la expresión de la función como:
\[ \color{red}{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]Encuentra las constantes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) para la curva \[ y = a \sin(bx + c) + d \] graficada a continuación.
Primero, el máximo máx y el mínimo mín de la función mostrada en la gráfica son iguales a:
\[ \text{máx} = \dfrac{18}{5} \quad \text{y} \quad \text{mín} = -\dfrac{6}{5} \]Usando las fórmulas obtenidas en el problema anterior, tenemos:
\[ d = \dfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2} = \dfrac{6}{5} \quad \text{y} \quad a = \dfrac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = \dfrac{12}{5} \]A continuación, encontramos el período \( p \) a partir de la gráfica de la función. Dado que los puntos \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) y \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) delimitan medio ciclo, el período \( p \) está dado por el doble de la diferencia entre las coordenadas x de estos puntos. Por lo tanto:
\[ p = 2 \left( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} \right) = \dfrac{8}{5} \]Asumiendo \( b \) positivo, el período está dado por la fórmula \( \dfrac{2\pi}{b} \). Por lo tanto, la ecuación:
\[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{8}{5} \]da como resultado:
\[ b = \dfrac{5\pi}{4} \]Usamos los valores de \( a \), \( b \) y \( d \) encontrados para escribir la función como:
\[ y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \]Usamos el punto \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) estableciendo \( x = \dfrac{3}{5} \) y \( y = \dfrac{18}{5} \) en la ecuación y simplificamos.
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi \cdot \dfrac{3}{5}}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{18}{5} - \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{12}{5} \] \[ \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = 1 \]Ahora resolvemos la ecuación trigonométrica anterior.
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \text{donde } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]Esto da: \( c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} \) (hemos usado la solución para \( k = 0 \)).
Ahora escribimos la expresión final de la función como:
\[ \color{red}{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]La temperatura \( T \), en grados Celsius, durante el día se aproxima por la función
\[ T(t) = -8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) + 30^{\circ} \]donde \( t \) es el tiempo en horas y \( t = 0 \) corresponde a las 12:00 a.m. (medianoche).
a) Encuentra el período de \( T \).
b) Encuentra el valor máximo de \( T \).
c) Encuentra \( T \) a las 12 a.m., 6 a.m., 12 p.m., 6 p.m. y grafica \( T \) durante un período comenzando a las 12 a.m.
a) El período \( P \) está dado por:
\[ P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 24 \text{ horas} \]b) El valor máximo de \( T \) está dado por:
\[ \max = 30 + 8 = 38^\circ \]c) Encuentra los valores de \( T \) a las 12 a.m., 6 a.m., 12 p.m., 6 p.m.:
12 a.m. corresponde a \( t = 0 \), por lo tanto:
\[ T(12 \, \text{a.m.}) = -8\cos(0) + 30^\circ = 22^\circ \]6 a.m. corresponde a \( t = 6 \), por lo tanto:
\[ T(6 \, \text{a.m.}) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]12 p.m. (mediodía) corresponde a \( t = 12 \), por lo tanto:
\[ T(12 \, \text{p.m.}) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30^\circ = 38^\circ \]6 p.m. corresponde a \( t = 18 \), por lo tanto:
\[ T(6 \, \text{p.m.}) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]La gráfica se muestra a continuación.
