Encontrar funciones trigonométricas a partir de sus gráficas (Desplazamiento vertical)

a) Encontrar el máximo y el mínimo:
Sabemos que el rango estándar de la función seno básica se encuentra entre -1 y 1:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]

Multiplica todas las partes por la amplitud \( a \) (asumiendo \( a > 0 \)):
\[ -a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]

Suma el desplazamiento vertical \( d \) a todas las partes:
\[ -a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]

Esto nos indica los puntos más altos y bajos absolutos de la función:
\[ \mathbf{\text{máx} = d + a \quad \text{y} \quad \text{mín} = d - a} \]

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b) Resolver para \( a \) y \( d \):
Trata las ecuaciones del inciso (a) como un sistema de ecuaciones lineales:
1) \( d + a = \text{máx} \)
2) \( d - a = \text{mín} \)

Para encontrar \( d \): Suma las dos ecuaciones:
\( (d + a) + (d - a) = \text{máx} + \text{mín} \)
\( 2d = \text{máx} + \text{mín} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{máx} + \text{mín}}{2}} \)

Para encontrar \( a \): Resta la ecuación 2 de la ecuación 1:
\( (d + a) - (d - a) = \text{máx} - \text{mín} \)
\( 2a = \text{máx} - \text{mín} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{máx} - \text{mín}}{2}} \)

1. Encontrar amplitud (\(a\)) y desplazamiento vertical (\(d\)):
Lee los valores extremos del eje y: \( \text{máx} = 0 \) y \( \text{mín} = -4 \).
\[ d = \dfrac{0 + (-4)}{2} = \mathbf{-2} \]
\[ a = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \mathbf{2} \]

2. Encontrar el periodo (\(b\)):
Observando la gráfica, un ciclo completo se completa exactamente en \( x = \dfrac{4\pi}{3} \).
Periodo \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
Usando la fórmula: \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. Encontrar el desfase (\(c\)) algebraicamente:
Nuestra ecuación parcial es: \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
Necesitamos un punto claro de la gráfica para sustituirlo. En el intercepto y, la gráfica toca el pico: \( (0, 0) \).
Sustituye \( x = 0 \) y \( y = 0 \):
\[ 0 = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}(0) + c \right) - 2 \]
\[ 2 = 2 \sin(c) \implies \sin(c) = 1 \]

La función seno es igual a 1 en \( \dfrac{\pi}{2} \) (más cualquier múltiplo de \( 2\pi \)). Elegimos el valor positivo más simple: \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]

1. Encontrar amplitud (\(a\)) y desplazamiento vertical (\(d\)):
En la gráfica, \( \text{máx} = \dfrac{18}{5} \) y \( \text{mín} = -\dfrac{6}{5} \).
\[ d = \dfrac{\frac{18}{5} + \left(-\frac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\frac{12}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{6}{5}} \]
\[ a = \dfrac{\frac{18}{5} - \left(-\frac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\frac{24}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{12}{5}} \]

2. Encontrar el periodo (\(b\)):
Los puntos dados \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (un máximo) y \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (un mínimo) representan exactamente la mitad de un ciclo de onda.
Medio periodo = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
Periodo completo \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
Usando la fórmula: \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. Encontrar el desfase (\(c\)) algebraicamente:
Nuestra ecuación parcial es: \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
Sustituimos el punto máximo \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \):
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\left(\dfrac{3}{5}\right) + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
Resta \( \dfrac{6}{5} \) de ambos lados:
\[ \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]
Divide por \( \dfrac{12}{5} \):
\[ 1 = \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]

El seno es igual a 1 en \( \dfrac{\pi}{2} \). Por lo tanto:
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} \implies c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}} \]

Conclusión:
\[ \mathbf{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]

a) Encontrar el periodo:
El parámetro \( b \) dentro del coseno es \( \dfrac{\pi}{12} \).
Periodo \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ horas}} \).
(Esto tiene sentido lógico para un ciclo diario de temperatura.)

b) Encontrar la temperatura máxima:
La función tiene el formato \( a\cos(bt) + d \). Sabemos que \( \text{máx} = d + |a| \).
Desplazamiento vertical \( d = 30 \) y amplitud \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{máx} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

c) Evaluar tiempos específicos:
• 12 AM (\(t = 0\)):
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)
• 6 AM (\(t = 6\)):
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)
• 12 PM (\(t = 12\)):
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)
• 6 PM (\(t = 18\)):
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. Amplitud (\(a\)):
La amplitud es \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). Debido a que el problema exige \( a < 0 \), debemos usar una onda de coseno reflejada. Por lo tanto, \( a = -5 \).

2. Periodo (\(b\)):
La distancia horizontal entre un mínimo y el máximo siguiente es exactamente medio periodo.
Medio periodo = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
Periodo completo \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. Desfase (\(c\)):
Una onda de coseno reflejada \( (- \cos) \) comienza naturalmente en su mínimo. Dado que el mínimo de nuestra gráfica ocurre en \( x = \dfrac{\pi}{6} \), la gráfica se desplaza hacia la derecha por \( \dfrac{\pi}{6} \).
Desfase = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Sustituimos \( b = \dfrac{3}{2} \): \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = -5\cos\left(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right)} \]

1. Comprender la identidad co-función:
La función seno es simplemente la función coseno desplazada horizontalmente. Conocemos la identidad:
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. Sustituir el argumento:
Trata nuestra expresión interior completa \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) como \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. Simplificar el desfase:
Encuentra un denominador común para las constantes (que es 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

Conclusión:
La función coseno equivalente es:
\[ \mathbf{y = 3\cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right)} \]

1. Relacionar el máximo con la función coseno:
La función \( y = 8\cos(\theta) \) alcanza su máximo cuando el argumento interno \( \theta \) es igual a \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \), etc.
Por lo tanto, en el punto máximo, podemos igualar el argumento interno a \( 2k\pi \):
\[ 4x + c = 2k\pi \]

2. Sustituir el valor de x conocido:
Sabemos que un máximo ocurre en \( x = \dfrac{\pi}{12} \):
\[ 4\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + c = 2k\pi \] \[ \dfrac{\pi}{3} + c = 2k\pi \] \[ c = 2k\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

3. Encontrar valores positivos para \( c \):
Podemos probar valores enteros para \( k \) para encontrar resultados positivos para \( c \).
Si \( k = 0 \): \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (Negativo, descartar).
Si \( k = 1 \): \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
Si \( k = 2 \): \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

Conclusión:
Dos valores positivos posibles para \( c \) son \( \dfrac{5\pi}{3} \) y \( \dfrac{11\pi}{3} \). Ambos crean una ecuación válida que describe exactamente la misma gráfica.