Aprende a encontrar los ceros de polinomios mediante factorización, división de polinomios y el teorema del cero racional. Incluye problemas de matemáticas de 12º grado con soluciones detalladas e interpretaciones gráficas.
El polinomio \( p \) definido por \( p(x) = x^3+5x^2-2x-24 \) tiene un cero en \( x = 2 \). Factoriza \( p \) completamente y encuentra sus ceros.
Dado que \( p(x) \) tiene un cero en \( x = 2 \), entonces \( x - 2 \) es un factor de \( p(x) \). Dividimos \( p(x) \) entre \( x - 2 \): \[ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24}{x-2} = x^2 + 7 x + 12 \]
Así, \( p(x) \) puede escribirse en forma factorizada: \[ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7 x + 12) \]
Factorizamos la expresión cuadrática \( x^2 + 7 x + 12 \): \[ x^2 + 7 x + 12 = (x + 3)(x + 4) \] Sustituyendo en \( p(x) \): \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) \]
Los ceros se encuentran resolviendo: \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0 \] Para que \( p(x) \) sea cero, se requiere: \[ x - 2 = 0 \quad \text{o} \quad x + 3 = 0 \quad \text{o} \quad x + 4 = 0 \] Resolviendo cada ecuación, obtenemos los ceros de \( p(x) \): \[ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 \]
El polinomio \( p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10 \) tiene ceros irracionales en \( x = \pm \sqrt5 \). Encuentra los otros ceros.
Los ceros en \( x = \pm \sqrt5 \) corresponden a los factores \( x - \sqrt{5} \) y \( x + \sqrt{5} \). Por lo tanto, \( p(x) \) puede escribirse como: \[ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) Q(x) = (x^2 - 5)Q(x) \] Encontramos \( Q(x) \) mediante división larga: \[ Q(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 - 5} = \dfrac{3 x^4 + 5 x^3 - 17 x^2 - 25 x + 10}{x^2 - 5} = 3 x^2 + 5 x - 2 \] Factorizamos \( Q(x) \): \[ Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2) \] Factorizamos \( p(x) \) completamente: \[ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) \] Igualando cada factor a cero, obtenemos todos los ceros: \[ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 \]
Sea el polinomio \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3 \).
a) Demuestra que \( x = 1 \) es un cero de multiplicidad \( 2 \).
b) Encuentra todos los ceros de \( p \).
c) Esboza una posible gráfica de \( p \).
a) Si \( x = 1 \) es un cero de multiplicidad \( 2 \), entonces \( (x - 1)^2 \) es factor de \( p(x) \) y la división de \( p(x) \) entre \( (x - 1)^2 \) debe dar resto cero. Realizando la división:
\[ \dfrac{p(x)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{(x - 1)^2} = x^2 - 3 \]El resto es cero, por lo que \( x = 1 \) es un cero de multiplicidad \( 2 \).
b) Usando la división anterior, \( p(x) \) se factoriza como:
\[ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) \]Factorizando la expresión cuadrática \( x^2 - 3 \):
\[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) \]Resolviendo \( p(x) = 0 \), obtenemos los ceros:
\[ x = 1 \text{ (multiplicidad 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]c) Con la forma factorizada y los ceros, construimos una tabla de signos y graficamos usando las intersecciones con los ejes y el comportamiento del polinomio.
Usa el Teorema de los Ceros Racionales para determinar todos los ceros racionales del polinomio \( p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 \).
Teorema de los Ceros Racionales: Si \( p(x) \) es un polinomio con coeficientes enteros y \( \dfrac{m}{n} \) (en términos mínimos) es un cero de \( p(x) \), entonces \( m \) es divisor del término constante \( 2 \) y \( n \) es divisor del coeficiente principal \( 6 \).
Divisores de \( 2 \): \( \pm 1, \pm 2 \)
Divisores de \( 6 \): \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)
Posibles ceros racionales: \( \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} \)
Para reducir la lista, graficamos el polinomio y observamos que los ceros están cerca de \( -\dfrac{1}{3} \), \( \dfrac{1}{2} \) y \( 2 \).
Verificamos evaluando:
\[ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 0, \quad p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0, \quad p(2) = 0 \]Por lo tanto, los ceros son \( -\dfrac{1}{3} \), \( \dfrac{1}{2} \) y \( 2 \).