Encontrar ceros de polinomios

Dado que $p(x)$ tiene un cero en $x = 2$, significa que $(x - 2)$ es un factor de $p(x)$. Dividimos $p(x)$ por $(x - 2)$ usando división larga de polinomios o división sintética:

$$ \frac{p(x)}{x - 2} = \frac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

Usando el resultado de la división, $p(x)$ ahora puede escribirse en una forma factorizada parcial:

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

A continuación, factorizamos la expresión cuadrática $x^2 + 7x + 12$. Necesitamos dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7. Esos números son 3 y 4:

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

Sustituimos esto de nuevo en $p(x)$ para obtener la forma completamente factorizada:

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

Los ceros se encuentran igualando la ecuación a cero: $p(x) = 0$. Esto significa:

$$ x - 2 = 0 \quad \text{o} \quad x + 3 = 0 \quad \text{o} \quad x + 4 = 0 $$

Ceros finales:
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

Los ceros en $x = \pm \sqrt{5}$ corresponden a los factores lineales:

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{y} \quad (x + \sqrt{5}) $$

Multiplica estos factores para crear un divisor cuadrático. Nota que esta es una diferencia de cuadrados:

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

Por lo tanto, el polinomio $p(x)$ puede escribirse como:

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

Encuentra $Q(x)$ usando división larga de polinomios:

$$ Q(x) = \frac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

Ahora, factoriza la cuadrática $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$:

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

Ahora podemos escribir $p(x)$ completamente factorizado:

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

Ceros finales: Igualando cada factor a cero:
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) Demostrar multiplicidad 2:
Si $x = 1$ es un cero de multiplicidad 2, entonces $(x - 1)^2$ debe ser un factor de $p(x)$. Al expandir $(x-1)^2$ obtenemos $x^2 - 2x + 1$. Una división larga de $p(x)$ por $x^2 - 2x + 1$ debe dar un resto de 0:

$$ \frac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

Como el resto es 0, $x = 1$ es efectivamente un cero de multiplicidad 2.

b) Encontrar todos los ceros:
Usando la división anterior, $p(x)$ ahora puede escribirse en forma factorizada:

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

Factoriza la expresión cuadrática $x^2 - 3$ como una diferencia de cuadrados:

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

Ceros finales:
$$ x = 1 \text{ (multiplicidad 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) Bosquejar la gráfica:
Con la forma factorizada y los ceros, creamos una tabla de signos. Nota que en $x=1$ (multiplicidad par), la gráfica tocará el eje y dará la vuelta, mientras que en $x=\pm\sqrt{3}$ (multiplicidad impar), cruzará el eje.

Usamos los interceptos en x, la tabla de signos, el intercepto en y $(0, -3)$ y el comportamiento final (ambos extremos suben ya que es un grado par con un coeficiente principal positivo) para completar la gráfica:

Teorema de los ceros racionales: Si $p(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, cualquier cero racional de la forma $\frac{m}{n}$ (en términos reducidos) debe tener a $m$ como factor del término constante y a $n$ como factor del coeficiente principal.

Término constante = $2$. Los factores de 2 son: $\pm 1, \pm 2$.
Coeficiente principal = $6$. Los factores de 6 son: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Posibles ceros racionales ($\frac{\text{factores de } 2}{\text{factores de } 6}$):

$$ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3} $$

Debido a la gran lista de posibles ceros, graficamos el polinomio y estimamos los ceros a partir de la ubicación de los interceptos en $x$. De la gráfica anterior, los ceros parecen estar cerca de $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ y $2$.

Calculamos $p\left(-\frac{1}{3}\right)$, $p\left(\frac{1}{2}\right)$ y $p(2)$ para verificar:

$$ p\left(-\frac{1}{3}\right) = 6\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

Ceros finales: Las tres suposiciones han sido verificadas. Los ceros son exactamente:
$$ x = -\frac{1}{3}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. Sustituye para simplificar:
Nota que este es un polinomio en "forma cuadrática". Sea $u = x^2$. La ecuación se convierte en:

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. Factoriza la cuadrática:
Necesitamos dos números que multiplicados den $-36$ y sumados den $-5$. Estos son $-9$ y $4$.

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. Sustituye de vuelta a $x$:
Reemplaza $u$ con $x^2$ para encontrar las raíces de $x$:

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

Ceros finales:
El polinomio tiene dos ceros reales y dos ceros complejos: $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. Teorema de las raíces conjugadas:
Dado que el polinomio tiene coeficientes reales, las raíces complejas deben ocurrir en pares conjugados. Por lo tanto, si $x = 1 - i$ es un cero, $x = 1 + i$ también debe ser un cero.

2. Construye la forma factorizada:
Los tres ceros son $2, 1-i, 1+i$. Los factores son $(x - 2)$, $(x - (1-i))$ y $(x - (1+i))$. La ecuación general es:

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. Expande los factores complejos:
Agrupa las partes complejas para usar la diferencia de cuadrados:

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

Entonces, el polinomio es $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$.

4. Resuelve para 'a' usando el intercepto y:
Se nos da $P(0) = -4$. Sustituye $x=0$:

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. Expande a forma estándar:
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. Identifica las raíces racionales posibles:
Factores del término constante (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Factores del coeficiente principal (2): $\pm 1, \pm 2$.
Raíces posibles: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$.

2. Prueba raíces usando el teorema del factor:
Sea $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. Prueba $x=1$:

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

Dado que $p(1) = 0$, $x = 1$ es una raíz y $(x - 1)$ es un factor.

3. Usa división sintética para dividir por $(x - 1)$:

  1 |  2   -1   -7    6
    |       2    1   -6
    ---------------------
       2    1   -6    0
                        

El cociente es la cuadrática $2x^2 + x - 6$.

4. Factoriza la cuadrática restante:
Necesitamos factorizar $2x^2 + x - 6 = 0$. Buscamos dos números que multiplicados den $(2)(-6) = -12$ y sumados den $1$. Esos números son $4$ y $-3$.

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

Esto da las raíces $x = \frac{3}{2}$ y $x = -2$.

Ceros finales:
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \frac{3}{2}, \quad x = -2} $$