Resolver ecuaciones logarítmicas con soluciones para grado 12

Paso 1: Determina el dominio.
Los argumentos de los logaritmos deben ser positivos:
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
Por lo tanto, el dominio para esta ecuación es $1.5 < x < 3$.

Paso 2: Reescribe la ecuación con los términos logarítmicos en un lado:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$

Paso 3: Reescribe sustituyendo $-2$ por $\log 10^{-2}$:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$

Paso 4: Usa la regla del cociente $\log A - \log B = \log\left(\frac{A}{B}\right)$:
$$ \log\left( \frac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$

Paso 5: La función $\log(x)$ es inyectiva, por lo que deducimos:
$$ \frac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \frac{1}{100} $$

Paso 6: Resuelve para $x$:
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \frac{303}{201} = \frac{101}{67} $$

Paso 7: Verifica con el dominio.
$\frac{101}{67} \approx 1.507$. Dado que $1.507$ está entre $1.5$ y $3$, la solución es válida.
Respuesta final: $x = \frac{101}{67}$

Paso 1: Determina el dominio.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ o $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
La intersección de estas condiciones es $x > 1$. El dominio es $(1, \infty)$.

Paso 2: Usa las reglas de logaritmos para reescribir ambos lados (regla del cociente a la izquierda, regla de la potencia a la derecha):
$$ \log \left( \frac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$

Paso 3: Elimina los logaritmos (propiedad inyectiva):
$$ \frac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{(x - 1)^2} $$

Paso 4: Dado que $x > 1$, $x - 1 \neq 0$. Multiplica ambos lados por $(x - 1)^2(x + 1)$ para eliminar los denominadores:
$$ x(x - 1) = x + 1 $$

Paso 5: Resuelve la ecuación cuadrática:
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
Soluciones: $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ y $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$

Paso 6: Verifica con el dominio.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ no es mayor que $1$, por lo que se rechaza (extraña).
Respuesta final: $x = 1 + \sqrt{2}$

Paso 1: Determina el dominio.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
La intersección es $x > 4.5$. El dominio es $(4.5, \infty)$.

Paso 2: Lleva los logaritmos a un lado y sustituye $2$ por $\log_2 4$:
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$

Paso 3: Aplica la regla del producto:
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$

Paso 4: Iguala los argumentos y expande:
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$

Paso 5: Resuelve la cuadrática factorizando:
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
Soluciones: $x = \frac{1}{2}$ y $x = 5$.

Paso 6: Verifica con el dominio.
$x = \frac{1}{2}$ es menor que $4.5$, por lo que es extraña. Solo $x = 5$ cae en el dominio.
Respuesta final: $x = 5$

Paso 1: Determina el dominio.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
La intersección es $x > -1$. El dominio es $(-1, \infty)$.

Paso 2: Usa la regla de la potencia en ambos lados:
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$

Paso 3: Usa la regla del cociente:
$$ \ln \left( \frac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$

Paso 4: Elimina los logaritmos naturales y resuelve:
$$ \frac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$

Paso 5: Factoriza la cuadrática:
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

Paso 6: Verifica con el dominio.
$x = 1$ es mayor que $-1$, por lo tanto la solución es válida.
Respuesta final: $x = 1$

Paso 1: Determina el dominio.
De $\log_2(x)$, $x > 0$.
De $\log_2(x^2)$, $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
La intersección es $x > 0$. El dominio es $(0, \infty)$.

Paso 2: Usa la regla de la potencia para simplificar el segundo término:
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$

Paso 3: Usa sustitución. Sea $u = \log_2(x)$:
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$

Paso 4: Resuelve para $u$ factorizando:
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ o } u = -2 $$

Paso 5: Sustituye de vuelta para resolver para $x$:
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4} $$

Paso 6: Verifica con el dominio.
Tanto $16$ como $\frac{1}{4}$ son estrictamente mayores que $0$.
Respuesta final: $x = 16$ y $x = \frac{1}{4}$

Paso 1: Determina el dominio.
Para el logaritmo interno: $x > 0$.
Para el logaritmo externo: $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
La intersección es $x > 1$. El dominio es $(1, \infty)$.

Paso 2: Divide ambos lados por $10$:
$$ \log(\log(x)) = 0.1 $$

Paso 3: Convierte el logaritmo externo a forma exponencial (base 10):
$$ \log(x) = 10^{0.1} $$

Paso 4: Convierte el logaritmo interno a forma exponencial:
$$ x = 10^{\left(10^{0.1}\right)} \approx 10^{1.2589} \approx 18.15 $$

Paso 5: Verifica con el dominio.
$18.15 > 1$, por lo tanto la solución es válida.
Respuesta final: $x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$