Productos escalar y vectorial de vectores en 3D

Aproxima, al grado más cercano, el ángulo entre los vectores $\vec{v} = \langle -2, 3, 1 \rangle$ y $\vec{u} = \langle 0, -1, 4 \rangle$.

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Solución:

Expresa el producto escalar de los dos vectores usando tanto la fórmula algebraica como la geométrica:

$$ \vec{v} \cdot \vec{u} = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = -3 + 4 = 1 $$

Calcula las magnitudes:

$$ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$

$$ ||\vec{u}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17} $$

Resuelve para $\cos\theta$:

$$ \cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{||\vec{v}|| \, ||\vec{u}||} = \frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} $$

$$ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}}\right) \approx 86^\circ $$

Encuentra $a$ de modo que los vectores $\langle a, -6, 3 \rangle$ y $\langle 1, 0, -2 \rangle$ sean perpendiculares.

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Solución:

Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar (punto) debe ser igual a cero.

$$ \langle a, -6, 3 \rangle \cdot \langle 1, 0, -2 \rangle = a(1) + (-6)(0) + (3)(-2) = 0 $$

$$ a - 6 = 0 $$

$$ a = 6 $$

Calcula el producto vectorial de los vectores $\vec{u} = \langle 1, 1, 3 \rangle$ y $\vec{v} = \langle 1, 0, 2 \rangle$.

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Solución:

Configura la matriz determinante:

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} $$

$$ = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} $$

$$ = ((1)(2) - 0)\vec{i} - ((1)(2) - (1)(3))\vec{j} + ((1)(0) - (1)(1))\vec{k} $$

$$ = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k} = \langle 2, 1, -1 \rangle $$

Encuentra dos vectores unitarios perpendiculares a los vectores $\vec{u} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ y $\vec{v} = \langle -2, 0, 4 \rangle$.

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Solución:

El producto vectorial $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector ortogonal a ambos.

$$ \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (-8 - 0)\vec{i} - (4 - (-2))\vec{j} + (0 - 4)\vec{k} = \langle -8, -6, -4 \rangle $$

Encuentra la magnitud de $\vec{w}$ para normalizarlo:

$$ ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 36 + 16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} $$

El primer vector unitario $\vec{u}_1$ apunta en la misma dirección:

$$ \vec{u}_1 = \frac{1}{2\sqrt{29}} \langle -8, -6, -4 \rangle = \left\langle -\frac{4}{\sqrt{29}}, -\frac{3}{\sqrt{29}}, -\frac{2}{\sqrt{29}} \right\rangle $$

El segundo vector unitario $\vec{u}_2$ apunta en la dirección exactamente opuesta:

$$ \vec{u}_2 = -\vec{u}_1 = \left\langle \frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}} \right\rangle $$

Explica matemáticamente por qué las siguientes declaraciones no son ciertas:

a) $\vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2$

b) $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w}$

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Solución:

a) Desajuste dimensional: El lado izquierdo ($\vec{u} \times \vec{u}$) es un producto vectorial, lo que significa que el resultado debe ser un vector (específicamente, el vector cero $\vec{0}$). El lado derecho ($||\vec{u}||^2$) representa una magnitud escalar. Un vector y un escalar no pueden ser igualados.

b) Invalidación de operación: En el lado izquierdo, el producto vectorial crea un vector, que luego se multiplica por un producto punto con $\vec{u}$, resultando en un escalar válido. En el lado derecho, el producto punto $(\vec{u} \cdot \vec{u})$ se evalúa como un escalar, que luego se multiplica por un producto vectorial con el vector $\vec{w}$. La operación de producto vectorial solo se define entre dos vectores, no entre un escalar y un vector. Por lo tanto, el lado derecho es matemáticamente indefinido.

Calcula $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$ dado que $\vec{u} = \langle a,b,c \rangle$ y $\vec{v} = \langle d,e,f \rangle$.

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Solución:

El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ es un vector que es estrictamente perpendicular a ambos vectores originales $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Por lo tanto, el producto punto de dos vectores perpendiculares ($\vec{u}$ y $\vec{u} \times \vec{v}$) siempre es igual a $0$.

$$ \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 $$

Encuentra $k$ de modo que los vectores $\vec{u} = \langle -2,-k,1 \rangle$ y $\vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle$ sean perpendiculares.

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Solución:

Si dos vectores distintos de cero $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares, entonces su producto punto es igual a $0$.

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \langle -2, -k, 1 \rangle \cdot \langle 8, -2, -3 \rangle = 0 $$

Expande el producto punto para obtener la ecuación algebraica:

$$ (-2)(8) + (-k)(-2) + (1)(-3) = 0 $$

$$ -16 + 2k - 3 = 0 \implies 2k = 19 $$

$$ k = \frac{19}{2} $$

Encuentra $k$ de modo que los vectores $\vec{u} = \langle -3,2,-2 \rangle$, $\vec{v} = \langle 2,1,k \rangle$ y $\vec{w} = \langle -1,3,-5 \rangle$ estén en el mismo plano (coplanares).

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Solución:

Cualquier par de vectores se encuentra en el mismo plano. Si un tercer vector también se encuentra en este plano, entonces el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores es cero. Este volumen se calcula usando el producto triple escalar:

$$ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 $$

Esto se calcula usando el determinante de una matriz de $3 \times 3$:

$$ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & k \\ -1 & 3 & -5 \end{vmatrix} = 0 $$

$$ = -3(-5 - 3k) - 2(-10 + k) - 2(6 + 1) = 21 + 7k $$

Para que los vectores sean coplanares, iguala el resultado a cero:

$$ 21 + 7k = 0 \implies k = -3 $$

Encuentra el ángulo $\theta$ entre los vectores $\vec{u} = \langle 2,0,1 \rangle$ y $\vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle$.

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Solución:

Usa la definición del producto escalar: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta $$

Primero, calcula las magnitudes $\|\vec{u}\|$ y $\|\vec{v}\|$:

$$ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} $$

$$ \|\vec{v}\| = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{77} $$

Ahora, calcula el producto punto algebraico:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(8) + (0)(-2) + (1)(-3) = 13 $$

Aísla $\cos\theta$ y resuelve:

$$ \cos\theta = \frac{13}{\sqrt{5}\sqrt{77}} = \frac{13}{\sqrt{385}} $$

$$ \theta = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{385}}\right) \approx 48.5^\circ $$

Encuentra la proyección vectorial de $\vec{u} = \langle -1,-1,1 \rangle$ sobre $\vec{v} = \langle 2,1,1 \rangle$.

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Solución:

La fórmula de la proyección vectorial es: $$ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right) \vec{v} $$

Calcula el producto punto y la magnitud al cuadrado:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (-1)(1) + (1)(1) = -2 $$

$$ \|\vec{v}\|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6 $$

Multiplica la relación escalar por el vector $\vec{v}$:

$$ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = -\frac{2}{6} \langle 2,1,1 \rangle = \left\langle -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \right\rangle $$

Encuentra el valor(es) de $k$ de modo que los puntos $A(-1,2,k)$, $B(-3,6,3)$ y $C(1,3,6)$ formen los vértices de un triángulo rectángulo con el ángulo de $90^\circ$ en el vértice $A$.

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Solución:

Para que $\triangle ABC$ sea un triángulo rectángulo en $A$, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ deben ser perpendiculares. Por lo tanto, su producto punto debe ser igual a $0$.

$$ \vec{AB} = \langle -3 - (-1), 6 - 2, 3 - k \rangle = \langle -2, 4, 3 - k \rangle $$

$$ \vec{AC} = \langle 1 - (-1), 3 - 2, 6 - k \rangle = \langle 2, 1, 6 - k \rangle $$

Iguala su producto punto a cero:

$$ \langle -2, 4, 3 - k \rangle \cdot \langle 2, 1, 6 - k \rangle = 0 $$

$$ -4 + 4 + (3 - k)(6 - k) = 0 $$

$$ (3 - k)(6 - k) = 0 $$

Esto produce dos soluciones válidas: $k = 3$ y $k = 6$.

Dado el vector $\vec{v} = \langle 3,-1,-2 \rangle$, encuentra un vector $\vec{u}$ tal que $\vec{v} \times \vec{u} = \langle 4,2,5 \rangle$ y $\|\vec{u}\| = 3$.

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Solución:

Sean $a, b, c$ los componentes del vector $\vec{u}$. Evalúa el producto vectorial:

$$ \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ a & b & c \end{vmatrix} = (-c + 2b)\vec{i} - (3c + 2a)\vec{j} + (3b + a)\vec{k} $$

Iguala los componentes a $\langle 4, 2, 5 \rangle$:

1) $-c + 2b = 4$

2) $-2a - 3c = 2$

3) $3b + a = 5$

Estas ecuaciones son dependientes. Sea $a = t$. De la ec. 2: $c = \frac{-2 - 2t}{3}$. De la ec. 3: $b = \frac{5 - t}{3}$.

Aplica la restricción de magnitud $\|\vec{u}\| = 3 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 9$:

$$ t^2 + \left(\frac{5 - t}{3}\right)^2 + \left(\frac{-2 - 2t}{3}\right)^2 = 9 $$

Multiplica por 9 y expande:

$$ 9t^2 + (25 - 10t + t^2) + (4 + 8t + 4t^2) = 81 $$

$$ 14t^2 - 2t - 52 = 0 \implies 7t^2 - t - 26 = 0 $$

La factorización da $t = 2$ y $t = -\frac{13}{7}$. Sustituir estos valores da dos vectores posibles:

Si $t = 2$: $\vec{u}_1 = \langle 2, 1, -2 \rangle$

Si $t = -\frac{13}{7}$: $\vec{u}_2 = \langle -\frac{13}{7}, \frac{16}{7}, \frac{4}{7} \rangle$

Los puntos $A(4,6,2)$, $B(2,2,4)$, $C(-2,-3,1)$ y un punto desconocido $D$ forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas del punto $D$.
b) Encuentra el área del paralelogramo.

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Solución:

a) Sea $D = (a, b, c)$. Para que $ABCD$ sea un paralelogramo, el vector $\vec{AB}$ debe ser igual al vector $\vec{DC}$.

$$ \vec{AB} = \langle 2 - 4, 2 - 6, 4 - 2 \rangle = \langle -2, -4, 2 \rangle $$

$$ \vec{DC} = \langle -2 - a, -3 - b, 1 - c \rangle $$

Igualando componentes:

$$ -2 - a = -2 \implies a = 0 $$

$$ -3 - b = -4 \implies b = 1 $$

$$ 1 - c = 2 \implies c = -1 $$

Por lo tanto, las coordenadas del punto $D$ son $(0, 1, -1)$.

b) El área del paralelogramo viene dada por la magnitud del producto vectorial de dos lados adyacentes: $\text{Área} = \|\vec{AB} \times \vec{BC}\|$.

Primero, encuentra $\vec{BC}$:

$$ \vec{BC} = \langle -2 - 2, -3 - 2, 1 - 4 \rangle = \langle -4, -5, -3 \rangle $$

A continuación, calcula el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{BC}$:

$$ \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 2 \\ -4 & -5 & -3 \end{vmatrix} $$

$$ = ((-4)(-3) - (2)(-5))\vec{i} - ((-2)(-3) - (2)(-4))\vec{j} + ((-2)(-5) - (-4)(-4))\vec{k} $$

$$ = (12 + 10)\vec{i} - (6 + 8)\vec{j} + (10 - 16)\vec{k} = 22\vec{i} - 14\vec{j} - 6\vec{k} $$

Finalmente, calcula la magnitud para encontrar el área:

$$ \text{Área} = \sqrt{22^2 + (-14)^2 + (-6)^2} = \sqrt{484 + 196 + 36} = \sqrt{716} = 2\sqrt{179} $$

En un cubo con longitud de lado 2, encuentra el ángulo entre las diagonales principales del cuerpo $AG$ y $BH$.

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Solución:

Asume que el cubo está alineado con los ejes. Los componentes de los vectores diagonales son:

$$ \vec{AG} = \langle 2, 2, 2 \rangle \quad \text{y} \quad \vec{BH} = \langle -2, 2, 2 \rangle $$

Usando la fórmula del producto punto:

$$ \cos\theta = \frac{\vec{AG} \cdot \vec{BH}}{\|\vec{AG}\|\|\vec{BH}\|} = \frac{(2)(-2) + (2)(2) + (2)(2)}{\sqrt{12}\sqrt{12}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

$$ \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.5^\circ $$

Encuentra un vector que sea ortogonal al plano que contiene los puntos $A(1,2,-3)$, $B(0,-2,1)$ y $C(-2,0,1)$.

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Solución:

Primero, calcula dos vectores que se encuentren dentro del plano:

$$ \vec{AB} = \langle 0-1, -2-2, 1-(-3) \rangle = \langle -1, -4, 4 \rangle $$

$$ \vec{AC} = \langle -2-1, 0-2, 1-(-3) \rangle = \langle -3, -2, 4 \rangle $$

El producto vectorial de estos dos vectores genera un vector estrictamente normal (ortogonal) al plano:

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} $$

$$ = ((-4)(4) - (4)(-2))\vec{i} - ((-1)(4) - (4)(-3))\vec{j} + ((-1)(-2) - (-4)(-3))\vec{k} $$

$$ = (-16 + 8)\vec{i} - (-4 + 12)\vec{j} + (2 - 12)\vec{k} = \langle -8, -8, -10 \rangle $$

Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A(1, 0, -3)$, $B(1, -2, 0)$ y $C(0, 2, 1)$.

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Solución:

El área $A$ de un triángulo formado por dos vectores es la mitad de la magnitud de su producto vectorial. Usemos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

$$ \vec{AB} = \langle 0, -2, 3 \rangle \quad \text{y} \quad \vec{AC} = \langle -1, 2, 4 \rangle $$

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (-8 - 6)\vec{i} - (0 - (-3))\vec{j} + (0 - 2)\vec{k} = \langle -14, -3, -2 \rangle $$

$$ \text{Área} = \frac{1}{2}\|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \frac{1}{2}\sqrt{(-14)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{196 + 9 + 4} $$

$$ \text{Área} = \frac{1}{2}\sqrt{209} \text{ unidades}^2 $$

Encuentra el volumen del paralelepípedo definido por los vectores de origen $\vec{u} = \langle -3, 0, 7 \rangle$, $\vec{v} = \langle -8, 0, 0 \rangle$ y $\vec{w} = \langle 0, -9, 0 \rangle$.

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Solución:

El volumen $V$ es el valor absoluto del producto triple escalar: $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$.

$$ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \end{vmatrix} = (0)\vec{i} - (0)\vec{j} + (72)\vec{k} = \langle 0, 0, 72 \rangle $$

Producto punto con $\vec{u}$:

$$ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \langle -3, 0, 7 \rangle \cdot \langle 0, 0, 72 \rangle = 0 + 0 + (7)(72) = 504 $$

$$ V = |504| = 504 \text{ unidades}^3 $$