Producto Escalar y Vectorial de Vectores 3D

El producto escalar (o punto) y el producto vectorial (o cruz) de vectores en 3D se definen y sus propiedades se discuten y utilizan para resolver problemas en 3D.

Producto Escalar (o Punto) de Dos Vectores

El producto escalar (o punto) de dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) es una cantidad escalar definida por: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = || \vec{u} || \, || \vec{v} || \cos \theta \] donde \( || \vec{u} || \) es la magnitud del vector \( \vec{u} \), \( || \vec{v} || \) es la magnitud del vector \( \vec{v} \) y \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).

Si se conocen las componentes de los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \): \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) \) y \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \), se puede demostrar que el producto escalar puede expresarse como: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \]

Teoremas sobre Productos Escalares

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
\( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
\( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \) si y solo si \( \theta = \pi/2 \), si tanto \( \vec{u} \) como \( \vec{v} \) son vectores no nulos.
\( (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v}) = k (\vec{u} \cdot \vec{v}) \)
\( |\vec{u} \cdot \vec{v}| \le ||\vec{u}|| \, ||\vec{v}|| \)
\( ||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \)

Ejemplo 1

Aproxima, al grado más cercano, el ángulo entre los vectores \(\vec{v} = \langle -2,3,1 \rangle\) y \(\vec{u} = \langle 0,-1,4 \rangle\).

Solución

Expresa el producto escalar de los dos vectores usando la magnitud y el ángulo \( \theta \) entre ellos y las coordenadas de la siguiente manera: \[ \vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v}|| \, ||\vec{u}|| \cos \theta = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = 1 \] \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \] \[ ||\vec{u}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17} \] \[ \cos \theta = \dfrac{1}{||\vec{v}|| \, ||\vec{u}||} = \dfrac{1}{\sqrt{14} \sqrt{17}} \] \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{1}{\sqrt{14} \sqrt{17}} \right) \approx 86^{\circ} \]

Más explicaciones sobre cómo encontrar el ángulo entre vectores en un video.

Ejemplo 2

Encuentra \( a \) para que los vectores \( \langle a,-6,3 \rangle \) y \( \langle 1,0,-2 \rangle \) sean perpendiculares.

Solución

Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero. \[ \langle a,-6,3 \rangle \cdot \langle 1,0,-2 \rangle = a(1) + (-6)(0) + (3)(-2) = a - 6 = 0 \] Resolviendo para \( a \): \[ a = 6 \]

Proyección Escalar y Vectorial de un Vector sobre Otro

En muchas aplicaciones, es importante encontrar la componente de un vector en la dirección de otro vector. Como se muestra a continuación, el vector \( \vec{u} \) se proyecta sobre el vector \( \vec{v} \) trazando una perpendicular desde el punto terminal de \( \vec{u} \) a la línea que pasa por \( \vec{v} \). La componente de \( \vec{u} \) a lo largo de \( \vec{v} \) es una cantidad escalar llamada proyección escalar y está dada por:

\( \text{comp}_{\vec{v}} \vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \) La proyección vectorial de \( \vec{u} \) sobre \( \vec{v} \) es una cantidad vectorial obtenida multiplicando la componente \( \text{comp}_{\vec{v}} \vec{u} \) por el vector unitario en la dirección del vector \( \vec{v} \) y está dada por: \( \text{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2} \vec{v} \)

proyección vectorial sobre otro vector

Producto Cruz (o Vectorial) de Dos Vectores

El producto cruz (o vectorial) de dos vectores \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) \) y \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) es una cantidad vectorial definida por: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} \vec{k} \] El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \).

producto cruz de dos vectores

La regla de la mano derecha para encontrar la dirección del producto cruz es la siguiente: apunta el índice en la dirección de \( \vec{u} \), el dedo medio en la dirección de \( \vec{v} \) y la dirección del producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es la misma que la del pulgar.

regla de la mano derecha

Teoremas sobre Productos Cruz

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces:

El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \).
\( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \)
\( \vec{u} \times \vec{v} = 0 \) si y solo si \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son paralelos, si ambos son vectores no nulos.
\( \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} \)
\( (k \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k \vec{v}) = k (\vec{u} \times \vec{v}) \)
\( ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \, ||\vec{v}|| \sin \theta \), donde \( \theta \) es el ángulo entre \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).

Área de un Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero (4 lados) con lados opuestos paralelos. En la figura siguiente se muestra el paralelogramo A, B, C y D. Por lo tanto, tenemos igualdad entre los vectores: \[ \vec{AB} = \vec{DC} \quad \text{y} \quad \vec{AD} = \vec{BC} \] El área del paralelogramo está dada por: \[ || \vec{AB} \times \vec{AD} || \]

definición de paralelogramo y fórmula de su área

El área de un triángulo puede calcularse como la mitad del área del paralelogramo correspondiente.

Volumen de un Paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura 3D formada por 6 paralelogramos como se muestra en la figura siguiente. Tenemos igualdad entre varios vectores: \[ \vec{AE} = \vec{DH} = \vec{CG} = \vec{BF} = \vec{u} \] \[ \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{v} \] \[ \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{w} \] El volumen \( V \) del paralelepípedo está dado por: \[ V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = |\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \]

definición de paralelepípedo y fórmula de su volumen

Ejemplo 3

Calcula el producto cruz de los vectores \(\vec{u} = \langle 1,1,3 \rangle\) y \(\vec{v} = \langle 1,0,2 \rangle\).

Un video sobre cómo encontrar el Producto Cruz de Dos Vectores con explicaciones detalladas.

Solución

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} \]

Ejemplo 4

Encuentra dos vectores unitarios perpendiculares a los vectores \( \vec{u} = \langle 1,-2,1 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle -2,0,4 \rangle \).

Solución

El producto cruz \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). Calculemos \( \vec{u} \times \vec{v} \): \[ \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} = -8\vec{i} - 6\vec{j} - 4\vec{k} \] Ahora necesitamos encontrar un vector unitario \( \vec{u_1} \) en la misma dirección que \( \vec{w} \), dado por: \[ \vec{u_1} = \dfrac{1}{||\vec{w}||} \vec{w} \] y un segundo vector unitario \( \vec{u_2} \) en la dirección opuesta a \( \vec{w} \), dado por: \[ \vec{u_2} = -\vec{u_1} \] \[ ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{29} \] \[ \vec{u_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{29}} (-8\vec{i} - 6\vec{j} - 4\vec{k}) = -\dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} - \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j} - \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k} \] \[ \vec{u_2} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} + \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j} + \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k} \]

Ejemplo 5

Explica por qué las siguientes afirmaciones no son verdaderas.

a) \( \vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \)

b) \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w} \)

Solución

a) El lado izquierdo \( \vec{u} \times \vec{u} \) es un producto cruz y el resultado es un vector. El lado derecho \( ||\vec{u}||^2 \) es una cantidad escalar. Un vector y un escalar no pueden compararse.

b) El lado izquierdo \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) \) es un producto escalar de \( \vec{u} \) y \( (\vec{u} \times \vec{w}) \) y el resultado es un escalar. El lado derecho es el producto de una cantidad escalar \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) y el vector \( \vec{w} \), y el resultado es un vector. Un escalar y un vector no pueden compararse.

Responde las siguientes Preguntas

Soluciones detalladas y explicaciones a estas preguntas.

Calcula \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) dado que \( \vec{u} = \langle a,b,c \rangle \) y \( \vec{v} = \langle d,e,f \rangle \).
Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \langle -2,-k,1 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle \) sean perpendiculares.
Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \langle -3,2,-2 \rangle \), \( \vec{v} = \langle 2,1,k \rangle \) y \( \vec{w} = \langle -1,3,-5 \rangle \) estén en el mismo plano (o sean coplanares).
Encuentra el ángulo \( \theta \) entre los vectores \( \vec{u} = \langle 2,0,1 \rangle \) y \( \vec{v} = \langle 8,-2,-3 \rangle \).
Encuentra la proyección vectorial de \( \vec{u} = \langle -1,-1,1 \rangle \) sobre \( \vec{v} = \langle 2,1,1 \rangle \).
Encuentra \( k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en \( A \).
Dado el vector \( \vec{v} = \langle 3,-1,-2 \rangle \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = \langle 4,2,5 \rangle \) y \( ||\vec{u}|| = 3 \).
Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas del punto D.

b) Encuentra el área del paralelogramo.
En el cubo siguiente, encuentra el ángulo entre las diagonales AG y BH.
Encuentra un vector ortogonal al plano que contiene los puntos A(1,2,-3), B(0,-2,1) y C(-2,0,1).
Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,0,-3), B(1,-2,0) y C(0,2,1).
Encuentra el volumen del paralelepípedo que se muestra a continuación.