Encontrar la Ecuación de una Línea a partir de un Gráfico

Ejemplos sobre cómo encontrar las ecuaciones de líneas dados sus gráficos. Se presentan ejemplos y ejercicios junto con sus soluciones detalladas y respuestas.
Los siguientes son repasos de fórmulas para pendientes y ecuaciones de líneas, y por lo tanto se utilizan para resolver los ejemplos a continuación.

1. La pendiente \( m \) de una línea con elevación \( \Delta y \) correspondiente a un avance \( \Delta x \) está dada por \[ m = \dfrac{\Delta y }{\Delta x} \]
2. La pendiente \( m \) de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas \( (x_1,y_1) \) y \( (x_2,y_2) \) está dada por \[ m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
3. La ecuación de una línea que pasa por el punto \( (y_0 , x_0) \) y tiene pendiente \( m \) está dada por \[ y - y_0 = m(x - x_0)\]
4. La ecuación de una línea con la intersección con el eje y en \( (0 , b) \) y que tiene pendiente \( m \) está dada por \[ y = m x + b \]
5. La ecuación de una línea horizontal que pasa por el punto \( (x_0 , y_0) \) está dada por \[ y = y_0 \]
6. La ecuación de una línea vertical que pasa por el punto \( (x_0 , y_0) \) está dada por \[ x = x_0 \]
7. Las pendientes \(m_1\) y \( m_2 \) de dos líneas perpendiculares están relacionadas de la siguiente manera \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]
8. Las pendientes \(m_1\) y \( m_2 \) de dos líneas paralelas están relacionadas de la siguiente manera \[ m_1 = m_2 \]

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1 Gráfico de línea con puntos
Encuentra la ecuación de la línea cuyo gráfico se muestra a continuación y escríbela en la forma pendiente-intersección.



Solución al Ejemplo 1
Usemos dos puntos \( (2,2) \) y \( (3,4) \) del gráfico para encontrar la pendiente \( m \) de la línea cuyo gráfico se muestra arriba.
\( m = \dfrac{4-2}{3-2} = 2\)
Conocemos al menos un punto y la pendiente, la ecuación de la línea en la forma punto-pendiente está dada por
\( y - 2 = 2 (x - 2) \)
En la forma punto-pendiente, la ecuación se escribe como
\( y = 2x - 2 \)

Ejemplo 2 Gráfico de línea dado avance y elevación
Encuentra la ecuación de la línea cuyo gráfico, incluyendo la elevación y el avance, se muestra a continuación.



Solución al Ejemplo 2
La pendiente de la línea cuyo gráfico se muestra arriba está dada por
\( m = \dfrac{elevación}{avance} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2}{2} = 1\)
La intersección con el eje y es el punto \( (0, - 3/2) \)
La ecuación de la línea en la forma pendiente-intersección está dada por
\( y = x - 3/2 \)

Ejemplo 3 Gráfico de línea dado avance y caída
Encuentra la ecuación, en la forma pendiente-intersección, de la línea cuyo gráfico, incluyendo la caída y el avance, se muestra a continuación.



Solución al Ejemplo 3
La pendiente de la línea cuyo gráfico se muestra arriba está dada por
\( m = \dfrac{caída}{avance} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-4.5}{3} = -1.5\)
Dado un punto \( (1,-5) \) y la pendiente de la línea, usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la línea
\( y - (-5) = -1.5(x - 1) \)
En la forma pendiente-intersección, la ecuación del gráfico anterior se escribe como
\( y = -1.5 x - 3.5 \)

Ejemplo 4 Gráfico de línea horizontal
Encuentra la ecuación de la línea horizontal cuyo gráfico se muestra a continuación.



Solución al Ejemplo 4
La ecuación de la línea horizontal que pasa por el punto \( (0,-3) \) está dada por
\( y = - 3 \)

Ejemplo 5 Gráfico de línea vertical
Encuentra la ecuación de la línea vertical cuyo gráfico se muestra a continuación.



Solución al Ejemplo 5
La ecuación de la línea vertical que pasa por el punto \( (2,0) \) está dada por
\( x = 2 \)

Ejemplo 6 Gráfico de línea perpendicular
Encuentra la forma pendiente-intersección de la ecuación de la línea \( L_2 \) que es perpendicular a la línea \( L_1 \) como se muestra a continuación.



Solución al Ejemplo 6
Necesitamos encontrar la pendiente \( m_2 \) de la línea \( L_2 \) que es perpendicular a la línea \( L_1 \) con pendiente \( m_1 \) dada por
\( m_1 = \dfrac{2 - 0}{2 - (-4)} = \dfrac{1}{3}\)
\( L_1 \) y \( L_2 \) son perpendiculares y por lo tanto
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Resuelve lo anterior para \( m_2 \)
\( m_2 = - 1 / m_1 = - 1 / (1/3) = - 3\)
La ecuación de la línea \( L_1 \) en forma punto-pendiente está dada por
\( y - 0 = - 3(x - (-4)) \)
y en forma pendiente-intersección está dada por
\( y = - 3 x - 12 \)

Ejercicios con Respuestas

Encuentra las ecuaciones de las líneas \(L_1\), \( L_2 \), \( L_3 \) y \( L_4 \) tales que \(L_2 \) es paralela a \( L_1 \), \(L_3 \) es perpendicular a \(L_1\) y \( L_4 \) es una línea horizontal.



Respuestas a los Ejercicios Anteriores

1. Ecuación de \(L_1\) : \( y = 2 x + 4 \)
2. Ecuación de \(L_2\) : \( y = 2x - 2.5 \)
3. Ecuación de \(L_3\) : \( y = - \dfrac{1}{2} x - \dfrac{7}{2} \)
4. Ecuación de \(L_4\) : \( y = - 5 \)

Más Referencias y Enlaces a Ecuaciones y Pendientes de Líneas