Pendientes de Líneas Paralelas – Demostraciones y Preguntas

Esta página presenta una clara demostración geométrica que muestra que las pendientes de dos líneas paralelas son iguales. También incluye varios ejemplos resueltos y preguntas de práctica con soluciones detalladas.

Demostración: Las Líneas Paralelas Tienen Pendientes Iguales

• La figura a continuación muestra dos líneas paralelas \(L_1\) y \(L_2\). Los puntos \(A\) y \(B\) están en \(L_1\), mientras que los puntos \(C\) y \(D\) están en \(L_2\).



• Sean \(BM\) y \(DN\) paralelos al eje \(y\), y sean \(AM\) y \(CN\) paralelos al eje \(x\). Los triángulos \(ABM\) y \(CDN\) tienen lados correspondientes paralelos y, por lo tanto, son semejantes.

Por lo tanto, \[ \frac{BM}{DN} = \frac{MA}{NC} \]

• Esto se puede reescribir como

\[ \frac{BM}{MA} = \frac{DN}{NC} \]

• Por definición, \(\frac{BM}{MA}\) es la pendiente de la línea \(L_1\) y \(\frac{DN}{NC}\) es la pendiente de la línea \(L_2\). Por lo tanto, las pendientes de las dos líneas paralelas son iguales.

Preguntas sobre Líneas Paralelas

Pregunta 1

¿Cuáles de las siguientes líneas son paralelas?

\[ \begin{aligned} \text{a)}\ & y = 2x - 3 \\ \text{b)}\ & 2x - y = 2 \\ \text{c)}\ & -4y + 2x = 0 \\ \text{d)}\ & -4y + 8x = 9 \end{aligned} \]

Solución

Escribe cada ecuación en la forma pendiente–intersección \(y = mx + b\).

\[ \begin{aligned} \text{a)}\ & y = 2x - 3 \Rightarrow m = 2 \\ \text{b)}\ & y = 2x - 2 \Rightarrow m = 2 \\ \text{c)}\ & y = \tfrac{1}{2}x \Rightarrow m = \tfrac{1}{2} \\ \text{d)}\ & y = 2x - \tfrac{9}{4} \Rightarrow m = 2 \end{aligned} \]

Las líneas en las partes (a), (b) y (d) tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.

Pregunta 2

Encuentra \(k\) para que las líneas \[ 6kx - 3y = 9 \quad \text{y} \quad -4x + 5y = 7 \] sean paralelas.

Solución

\[ \begin{aligned} 6kx - 3y &= 9 \Rightarrow y = 2kx - 3 \Rightarrow m_1 = 2k \\ -4x + 5y &= 7 \Rightarrow y = \tfrac{4}{5}x + \tfrac{7}{5} \Rightarrow m_2 = \tfrac{4}{5} \end{aligned} \]

Las líneas paralelas tienen pendientes iguales: \[ 2k = \tfrac{4}{5} \]

\[ k = \tfrac{2}{5} \]

Pregunta 3

Encuentra \(a\) para que la línea que pasa por \((1,2)\) y \((0,3)\) sea paralela a la línea que pasa por \((a,2)\) y \((-2,7)\).

Solución

\[ m_1 = \frac{3 - 2}{0 - 1} = -1 \]

\[ m_2 = \frac{7 - 2}{-2 - a} = \frac{5}{-2 - a} \]

Iguala las pendientes: \[ \frac{5}{-2 - a} = -1 \]

\[ a = 3 \]

Pregunta 4

Encuentra las coordenadas del punto \(D (a,b) \) para que \(A(0,2)\), \(B(2,6)\), \(C(8,8)\) y \(D\) formen un paralelogramo.

Solución

\[ m_{AB} = \frac{6 - 2}{2 - 0} = 2 \]

\[ m_{DC} = \frac{8 - b}{8 - a} \Rightarrow 2 = \frac{8 - b}{8 - a} \Rightarrow 8 - b = 16 - 2a \]

\[ m_{BC} = \frac{8 - 6}{8 - 2} = \tfrac{1}{3}, \quad m_{AD} = \frac{b - 2}{a} \Rightarrow \tfrac{1}{3} = \frac{b - 2}{a} \Rightarrow a = 3b - 6 \]

Resolviendo el sistema se obtiene: \[ b = 4, \quad a = 6 \]

\[ D(6,4) \]

Pregunta 5

Encuentra la ecuación de una línea que pasa por \((2,1)\) y es paralela a la línea que pasa por \((-1,2)\) y \((3,4)\).

Solución

\[ m = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \tfrac{1}{2} \]

\[ y - 1 = \tfrac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \tfrac{1}{2}x \]

Pregunta 6

Encuentra la ecuación de una línea que pasa por \((-1,1)\) y es paralela a \[ 2y + 4x = 2 \]

Solución

\[ y = -2x + 1 \Rightarrow m = -2 \]

\[ y - 1 = -2(x + 1) \Rightarrow y = -2x - 1 \]

Más Referencias

Ecuaciones de Líneas en Diferentes Formas
Tutorial sobre la Ecuación de una Línea
Problemas de Geometría de Líneas
Líneas a Través de Dos Puntos (Paralelas y Perpendiculares)