En álgebra lineal, encontrar la inversa de un producto de matrices es una operación común. Esta página explica la relación entre la inversa de un producto y las inversas de las matrices individuales.
Si \(A\) y \(B\) son matrices invertibles, entonces el producto \(AB\) también es invertible, y:
\[(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\]
Observa la inversión del orden: la inversa de un producto es el producto de las inversas en orden inverso.
Para demostrar este teorema, necesitamos mostrar que \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\) y \((B^{-1}A^{-1})(AB) = I\), donde \(I\) es la matriz identidad.
Verifiquemos:
\[ \begin{align} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= A(BB^{-1})A^{-1}\\ &= A(I)A^{-1}\\ &= AA^{-1}\\ &= I \end{align} \]
Similarmente:
\[ \begin{align} (B^{-1}A^{-1})(AB) &= B^{-1}(A^{-1}A)B\\ &= B^{-1}(I)B\\ &= B^{-1}B\\ &= I \end{align} \]
Esto prueba que \(B^{-1}A^{-1}\) es efectivamente la inversa de \(AB\).
Trabajemos con dos matrices de 2 por 2:
Matriz A: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Matriz B: \[B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]
Paso 1: Calcular el producto \(AB\).
\[ \begin{align} AB &= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (2 \times 1 + 1 \times 3) & (2 \times 2 + 1 \times 4) \\ (1 \times 1 + 1 \times 3) & (1 \times 2 + 1 \times 4) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \end{align} \]
Paso 2: Encontrar la inversa del producto \(AB\) directamente.
Para una matriz de 2 por 2 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), la inversa es: \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]
Para nuestra matriz producto \(AB = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}\):
Determinante = \(5 \times 6 - 8 \times 4 = 30 - 32 = -2\)
\[ \begin{align} (AB)^{-1} &= \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 6 & -8 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -2.5 \end{pmatrix} \end{align} \]
Paso 3: Calcular \(A^{-1}\) y \(B^{-1}\) por separado.
Para la matriz \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\):
Determinante = \(2 \times 1 - 1 \times 1 = 1\)
\[ \begin{align} A^{-1} &= \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}\]
Para la matriz \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\):
Determinante = \(1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2\)
\[ \begin{align} B^{-1} &= \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \end{align} \]
Paso 4: Calcular \(B^{-1}A^{-1}\).
\[ \begin{align} B^{-1}A^{-1} &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (-2 \times 1 + 1 \times -1) & (-2 \times -1 + 1 \times 2) \\ (1.5 \times 1 + -0.5 \times -1) & (1.5 \times -1 + -0.5 \times 2) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -2.5 \end{pmatrix} \end{align} \]
Verificación: Podemos ver que \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\), lo cual confirma el teorema.
Esta propiedad es útil en muchas áreas de las matemáticas y aplicaciones: