Encontrar la Inversa de una Matriz Usando Operaciones de Fila

Contenido de la Página

Introducción

Presentamos ejemplos sobre cómo encontrar la inversa de una matriz usando las tres operaciones de fila que se enumeran a continuación:

  1. Intercambiar dos filas
  2. Sumar un múltiplo de una fila a otra
  3. Multiplicar una fila por una constante distinta de cero
También se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
Una Calculadora de Inversa de una Matriz Usando Reducción de Filas

Inversa de una Matriz

Sea A una matriz de n × n . Si la matriz A-1 es la inversa de la matriz A , entonces tenemos

A A-1 = In = A-1 A

donde In es la n × n matriz identidad
Considere la ecuación matricial A A-1 = In donde A-1 es la incógnita. Para encontrar la inversa A-1 , comenzamos con la matriz aumentada [ A | In ] y luego la reducimos por filas. Si la matriz A es invertible, la reducción de filas terminará con una matriz aumentada de la forma

[ In | A-1 ]

donde la inversa A-1 es la matriz n × n en el lado derecho de la matriz aumentada [ In | A-1 ].


Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1
Encuentre la inversa de la matriz \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \]
Solución del Ejemplo 1
Escriba la matriz aumentada \( A | I \) \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 &|& 1 & 0 \\ 2 & -1 &|& 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Sean R1 y R2 la primera y la segunda filas de la matriz aumentada anterior.
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada reducida por filas .
Operaciones de Fila
La matriz aumentada anterior tiene la forma \( I | A^{-1} \) y por lo tanto \( A^{-1} \) está dada por \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]


Ejemplo 2
Encuentre la inversa de la matriz Matriz 3 por 3
Solución del Ejemplo 2
Escriba la matriz aumentada [ A | I3 ]
Matriz Aumentada
Sean R1, R2 y R3 la primera, la segunda y la tercera filas respectivamente de la matriz aumentada anterior.
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada reducida por filas .
Pasos de Reducción de Filas
La matriz aumentada anterior tiene la forma \( [ I_3 | A^{-1} ] \) y por lo tanto \( A^{-1} \) está dada por \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 2 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \]


Ejemplo 3
Encuentre la inversa de la matriz \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1\\ 2 & 2 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \).
Solución del Ejemplo 3
Escriba la matriz aumentada \( [ A | I_4 ] \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & -2 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada reducida por filas .
Intercambie \( R_1 \) y \( R_3 \)
Intercambiar Filas de la Matriz
Intercambie \( R_2 \) y \( R_4 \)
Intercambiar Filas de la Matriz
La matriz aumentada anterior tiene la forma \( [ I_4 | A^{-1} ] \) y por lo tanto \( A^{-1} \) está dada por \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -4 & -2 & 5 & 3 \\ 2 & 1 & -2 & -1 \\ -1 & -1/2 & 1 & 1 \\ -2 & -3/2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \]


Ejemplo 4
Encuentre la inversa de la matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 6 \end{bmatrix} \).
Solución del Ejemplo 4
Escriba la matriz aumentada \( [ A | I_3 ] \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 6 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada reducida por filas .
\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{R_3 - R_1}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 6 & | & -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)
\( \begin{matrix} \\ \\ \color{red}{R_3 - 2 R_2}\\ \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & -1 & -2 & 1 \\ \end{bmatrix} \)
La última fila de la matriz original (en el lado izquierdo) es todo ceros, por lo tanto, las filas de la matriz original \( A \) no son linealmente independientes y, en consecuencia, la matriz dada NO es invertible.
Note que el determinante de la matriz dada \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 6 \end{bmatrix} \) es igual a cero, por lo tanto, el valor del determinante podría usarse antes de cualquier cálculo para determinar si una matriz cuadrada dada es invertible o no.


Más Referencias y Enlaces

  1. inversa de una matriz
  2. álgebra lineal
  3. matriz identidad
  4. Encontrar la Inversa de una Matriz Usando Reducción de Filas - Calculadora
  5. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación
  6. matrices elementales