Matriz Simétrica
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Definición de una Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada A es simétrica si y solo si A = AT donde AT es la transpuesta de la matriz A .
Una matriz simétrica se puede reconocer visualmente: Las entradas que están simétricamente posicionadas con respecto a la diagonal principal son iguales como se muestra en el ejemplo a continuación de una matriz simétrica.
Estos son ejemplos de matrices simétricas.
a)
Por simple inspección, las entradas que están simétricamente posicionadas con respecto a la diagonal principal son ambas iguales a -2 y por lo tanto la matriz A es simétrica.
También, la transpuesta de la matriz A se obtiene intercambiando las filas de la matriz por columnas. La transpuesta de la matriz
A es
Note que AT = A y por lo tanto la matriz A es simétrica.
b)
La transpuesta de la matriz B se obtiene intercambiando las columnas de la matriz por filas. La transpuesta de la matriz B es
Note que BT = B y por lo tanto la matriz B es simétrica.
El Producto de Cualquier Matriz y su Transpuesta es Simétrico
Para cualquier matriz \( A \) de tamaño \( m \times n\), las matrices \( A A^T \) y \( A^T A \) son simétricas y tienen tamaños \( m \times m \) y \( n \times n \) respectivamente.
Sea \(
A =
\begin{bmatrix}
-3 & -3 & 9\\
2 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\) es una matriz \( 2 \times 3 \)
\( A^T =
\begin{bmatrix}
-3 & 2\\
-3 & -7 \\
9 & 1
\end{bmatrix}
\)
\( A A^T = \begin{bmatrix}
-3 & -3 & 9\\
2 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 2\\
-3 & -7 \\
9 & 1
\end{bmatrix} \)
\( \quad \quad = \begin{bmatrix}
99 & 24\\
24 & 54
\end{bmatrix}
\)
Por lo tanto \( A A^T \) es una matriz simétrica de \( 2 \times 2 \).
\( A^T A =
\begin{bmatrix}
-3 & 2\\
-3 & -7 \\
9 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & -3 & 9\\
2 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
13 & -5 & -25\\
-5 & 58 & -34\\
-25 & -34 & 82
\end{bmatrix}
\) es una matriz \( 3 \times 3 \)
Por lo tanto \( A^T A \) es una matriz simétrica de \( 3 \times 3 \).
Propiedades de las Matrices Simétricas
Algunas de las propiedades más importantes de las matrices simétricas se dan a continuación.
- Si \( A \) es una matriz simétrica, entonces \( A^T = A \), donde \( A^T \) es la transpuesta de la matriz \( A \).
- Si \( A \) y \( B \) son matrices simétricas, entonces \( A \pm B \) también son simétricas.
- Si \( A \) y \( B \) son matrices simétricas del mismo tamaño, entonces \( AB + BA \) también es simétrica.
- Si \( A \) es una matriz simétrica, entonces su matriz inversa \( A^{-1} \), si existe, también es simétrica.
- Si \( A \) es una matriz simétrica, entonces \( k A \) también es simétrica; donde \( k \) es cualquier número real.
- Si \( A \) es una matriz simétrica, entonces \( A^n \) también es simétrica; \( n \) es cualquier entero positivo.
- Para cualquier matriz \( B \), las matrices \( B B^T \) y \( B^T B \) son simétricas.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
¿Cuáles de las siguientes matrices son simétricas?
a) \( A =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \) b) \( B =
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \) c) \( C =
\begin{bmatrix}
5 & -7 & 0 & 0\\
5 & -7 & 0 & 0\\
5 & -7 & 0 & 0\\
5 & -7 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)
d) \( D =
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 0 & 9\\
4 & 2 & -4 & 0\\
0 & -4 & 4 & 0\\
9 & 0 & 0 & -5
\end{bmatrix} \)
Solución
Las matrices \( B \) y \( D \) son simétricas.
Ejemplo 2
Las matrices simétricas \( A \) y \( B \) están dadas por \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \) , \( B =
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & -3
\end{bmatrix} \).
Demuestre que \( A+B \) y \( A-B \) son simétricas. (Verificar la propiedad 2)
Solución
Calcular \( A + B \)
\( A + B =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & -3
\end{bmatrix} \)
\( \quad =
\begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & -1
\end{bmatrix}
\)
Calcular \( A - B \)
\( A - B =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & -3
\end{bmatrix}
\)
\( \quad =
\begin{bmatrix}
-5 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}
\)
Por lo tanto \( A + B \) y \( A - B \) también son matrices simétricas.
Ejemplo 3
Encuentre la inversa de la matriz simétrica \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & 0
\end{bmatrix} \)
y demuestre que esta matriz inversa es simétrica. (Verificar la propiedad 4)
Solución
Use la fórmula de la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) \( \begin{bmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz}
\begin{bmatrix}
w & - y \\
- z & x \\
\end{bmatrix} \) para encontrar \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{-4}
\begin{bmatrix}
0 & 2\\
2 & -1
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
0 & -\dfrac{1}{2}\\
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4}
\end{bmatrix}
\)
Por lo tanto \( A^{-1} \) también es simétrica.
Ejemplo 4
Sea la matriz \( A =
\begin{bmatrix}
-3 & 1\\
1 & 7
\end{bmatrix} \)
Calcule \( A^3 \) y verifique que es simétrica. (Verificar la propiedad 6)
Solución
\( A^3
=
\begin{bmatrix}
-3 & 1\\
1 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 1\\
1 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 1\\
1 & 7
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
10 & 4\\
4 & 50
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 1\\
1 & 7
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
-26 & 38\\
38 & 354
\end{bmatrix}
\)
Por lo tanto \( A^3 \) es una matriz simétrica.
Ejemplo 5
Encuentre los números reales \(a \), \( b \) y \( c \) para que la matriz \( A =
\begin{bmatrix}
0 & a+b & c+2 \\
a & 2 & c \\
4 & a+b & 4
\end{bmatrix} \)
sea simétrica.
Solución
Para que la matriz dada sea simétrica, debemos tener las siguientes ecuaciones satisfechas simultáneamente:
\( a = a + b \) ,
\( c + 2 = 4 \) ,
\( c = a + b \)
Resuelva el sistema de ecuaciones en \( a,\; b,\; c \) anterior para obtener
\( b = 0 , \; c = 2 , \; a = 2 \) que son los valores para que la matriz dada sea simétrica.
Ejemplo 6
Dadas las matrices simétricas \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
3 & 4
\end{bmatrix} \) y \( B =
\begin{bmatrix}
4 & 8 \\
8 & 9
\end{bmatrix} \), verifique que \( AB + BA \) también es simétrica (Propiedad 3 anterior)
Solución
Calcular \( AB \)
\( AB = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
3 & 4
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
4 & 8 \\
8 & 9
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
20 & 19 \\
44 & 60
\end{bmatrix} \)
Calcular \( BA \)
\( BA = \begin{bmatrix}
4 & 8 \\
8 & 9
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
20 & 44\\
19 & 60
\end{bmatrix} \)
Calcular \( AB + BA \)
\( AB + BA = \begin{bmatrix}
20 & 19 \\
44 & 60
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
20 & 44\\
19 & 60
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
40 & 63\\
63 & 120
\end{bmatrix} \)
Por lo tanto \( AB + BA \) es una matriz simétrica.
Preguntas (con soluciones a continuación)
- Parte 1
Las matrices \( A \) y \( B \) son tales que \( A B = B A = I \) donde \( I \) es la matriz identidad. Use cualquiera de las propiedades anteriores para explicar que si una de las matrices es simétrica, entonces la otra también es simétrica.
- Parte 2
Dadas las matrices
\( A = \begin{bmatrix}
-5 & -2 \\
- 1 & 2
\end{bmatrix} \) y
\( B = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
0 & 4
\end{bmatrix} \).
Calcule \( A + B \) y explique por qué \( (A + B)^T = A + B \) sin realizar más cálculos.
- Parte 3
Sea la matriz \( A = \begin{bmatrix}
- 1 & - b\\
c & c^2
\end{bmatrix} \). Encuentre los números reales \( b \) y \( c \) para que la matriz \( A \) sea simétrica y \( Det (A) = - 1 \).
- Parte 4
Demuestre que cualquier matriz simétrica de la forma \( A = \begin{bmatrix}
a & \sqrt{1-a^2} \\
\\
\sqrt{1-a^2} & - a \\
\end{bmatrix} \) , con \( |a| \lt 1 \), es tal que \( A = A^T = A^{-1} \) y calcule \( A^n \) donde \( n \) es un entero positivo.
Soluciones a las Preguntas Anteriores
- Parte 1
Dado que \( A B = B A = I \) donde \( I \) es la matriz identidad, y según la definición de la inversa de una matriz, \( A \) y \( B \) son inversas entre sí.
Por lo tanto, según la propiedad 4, si \( A \) es simétrica, entonces \( B \) su inversa también es simétrica y si \( B \) es simétrica, entonces su inversa \( A \) también es simétrica.
- Parte 2
\( A + B = \begin{bmatrix}
-5 & -2 \\
- 1 & 2
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
0 & 4
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-2 & -1 \\
-1 & 6
\end{bmatrix}
\)
Note que \( A + B \) es simétrica y por lo tanto, según la definición (o propiedad 1)
\( (A + B)^T = A + B \)
- Parte 3
Para que la matriz \( A \) sea simétrica, debemos tener \( - b = c \) o \( b = - c \).
\( Det(A) = - c^2 + b c = - 1 \)
Por lo tanto la ecuación
\( - c^2 + b c = - 1 \)
Sustituya \( b \) por \( - c \) en la ecuación anterior
\( -c^2 - c^2 = - 1 \)
Resuelva para \( C \) para obtener dos soluciones
\( c_1 = \dfrac{\sqrt 2}{2} \) y \( c_1 = - \dfrac{\sqrt 2}{2} \)
Por lo tanto dos pares de soluciones
\( c = \dfrac{\sqrt 2}{2} \) y \( b = - \dfrac{\sqrt 2}{2} \)
o
\( c = - \dfrac{\sqrt 2}{2} \) y \( b = \dfrac{\sqrt 2}{2} \)
- Parte 4
Dada \( A = \begin{bmatrix}
a & \sqrt{1-a^2} \\
\\
\sqrt{1-a^2} & - a \\
\end{bmatrix} \)
Determine \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix}
a & \sqrt{1-a^2} \\
\\
\sqrt{1-a^2} & - a \\
\end{bmatrix} \)
Use la fórmula de la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) \( \begin{bmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz}
\begin{bmatrix}
w & - y \\
- z & x \\
\end{bmatrix} \) para encontrar \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{- a^2 - (\sqrt{1-a^2})^2}
\begin{bmatrix}
- a & - \sqrt{1-a^2} \\
\\
- \sqrt{1-a^2} & a \\
\end{bmatrix}
\)
Simplifique
\( A^{-1} = (-1)
\begin{bmatrix}
- a & - \sqrt{1-a^2} \\
\\
- \sqrt{1-a^2} & a \\
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad
=
\begin{bmatrix}
a & \sqrt{1-a^2} \\
\\
\sqrt{1-a^2} & - a \\
\end{bmatrix}
\)
y notamos que \( A = A^T = A^{-1} \)
\( A^2 = A A = A A^{-1} = I \)
\( A^3 = A^2 A = I A = A \)
\( A^4 = A^3 A = A A = I \)
\( A^5 = A^4 A = I A = A \)
Podemos concluir fácilmente que
\( A^n = I \) si \( n \) es par
y
\( A^n = A \) si \( n \) es impar
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