Queremos encontrar una posible ecuación de una función logarítmica a partir de su gráfica. Una función logarítmica general se puede escribir como:
\[ f(x) = a \log_b (x - c) + d \]Antes de trabajar en los ejemplos a continuación, se recomienda revisar el tutorial sobre gráfica de funciones logarítmicas.
Las propiedades importantes de las funciones logarítmicas incluyen:
Para la función \( f(x) = a \log_b (x - c) + d \):
Dominio:
\[ x - c > 0 \]Rango:
\[ (-\infty, \infty) \]Asíntota vertical:
\[ x - c = 0 \quad \Rightarrow \quad x = c \]Recuerda la relación entre las funciones logarítmicas y exponenciales:
\[ y = b^x \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_b y \]Encuentra la función logarítmica de la forma \( y = \log_b(x) \) cuya gráfica se muestra a continuación.
El punto \( (3,1) \) se encuentra en la gráfica. Sustituye en \( y = \log_b(x) \):
\[ 1 = \log_b(3) \]Reescribe en forma exponencial:
\[ b^1 = 3 \quad \Rightarrow \quad b = 3 \]La función logarítmica es:
\[ y = \log_3(x) \]Encuentra la función logarítmica de la forma \( y = \log_b(x - c) \).
De la gráfica:
\[ (-1,0), \quad (2,2) \]Sustituye en \( y = \log_b(x - c) \):
\[ 0 = \log_b(-1 - c) \] \[ 2 = \log_b(2 - c) \]Convierte la primera ecuación a forma exponencial:
\[ b^0 = -1 - c \Rightarrow 1 = -1 - c \Rightarrow c = -2 \]Sustituye \( c = -2 \) en la segunda ecuación:
\[ 2 = \log_b(4) \]Convierte a forma exponencial:
\[ b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \]La función es:
\[ y = \log_2(x + 2) \]Encuentra la función logarítmica de la forma \( y = a \log_4(x - c) \).
Los puntos \( (-1,0) \) y \( (2,3) \) se encuentran en la gráfica.
\[ a \log_4(-1 - c) = 0 \] \[ a \log_4(2 - c) = 3 \]Divide la primera ecuación entre \( a \):
\[ \log_4(-1 - c) = 0 \]Convierte a forma exponencial:
\[ 4^0 = -1 - c \Rightarrow c = -2 \]Sustituye en la segunda ecuación:
\[ a \log_4(4) = 3 \] \[ a = 3 \]La función es:
\[ y = 3 \log_4(x + 2) \]Encuentra la función logarítmica de la forma \( y = a \log_2(x - c) + d \) con asíntota vertical \( x = 1 \).
La asíntota es \( x = c \), entonces:
\[ c = 1 \]Usando los puntos \( (5,0) \) y \( (9,2) \):
\[ 0 = a \log_2(4) + d \] \[ 2 = a \log_2(8) + d \]Simplifica:
\[ 0 = 2a + d \] \[ 2 = 3a + d \]Resolviendo:
\[ a = 2, \quad d = -4 \]Ecuación final:
\[ y = 2 \log_2(x - 1) - 4 \]Encuentra la función logarítmica de la forma \( y = a \log_2(x - c) + d \) con asíntota vertical \( x = 0 \).
Resolviendo:
\[ a = -1, \quad d = -4 \]Ecuación final:
\[ y = -\log_2(x) - 4 \]