Preguntas sobre Funciones con Soluciones

Un conjunto de preguntas sobre funciones y sus propiedades se presentan. También se proporcionan soluciones detalladas a las preguntas.

Pregunta 1:

\( f \) es una función definida por \[ f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x \leq 2 \\ 2x - 1 & x > 2 \end{cases} \] Encuentra \( f(0), f(2) \) y \(f(4)\).

Pregunta 2:

¿Es \( y \) una función de \( x \) en la siguiente ecuación? \[ -x^2 + y^2 - 2 = 0 \]

Pregunta 3:

Encuentra el dominio de la función f definida por \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + 2 \]

Pregunta 4:

Sea \( f \) una función definida por \[ f(x) = |x - 1| + 3. \] Encuentra \( f(-9) \).

Pregunta 5:

Sean \( f \) y \( g \) funciones definidas por \[ f(x) = 2x + 2 \quad \text{y} \quad g(x) = \sqrt{x + 3}. \] Encuentra \((f \circ g)(6)\).

Pregunta 6:

Encuentra todos los valores reales de \( x \) tales que \( f(x) = 0 \), dado que \( f \) es una función definida por \[ f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}. \]

Pregunta 7:

Encuentra todos los valores reales de \( x \) tales que \( f(x) = g(x) \), donde las funciones \( f \) y \( g \) están dadas por: \[ f(x) = 3x + \sqrt{x}, \quad g(x) = 2x + 6 \]

Pregunta 8:

¿Es \(y\) una función de \(x\) en la siguiente ecuación? \[ |y + 1| = x^2 + 2 \]

Pregunta 9:

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - 1|}} \]

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Solución a la Pregunta 1:

Dado que \(0 \lt 2\), \(f(0)\) se encuentra sustituyendo \(x = 0\) en la fórmula \( f(x) = 2x + 4 \) \[ f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \] Dado que \(2 \le 2\), \(f(2)\) se encuentra sustituyendo \(x = 2\) en la fórmula \[ f(x) = 2x + 4 \] \[ f(2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 \] Dado que \(4 > 2\), \(f(4)\) se encuentra sustituyendo \(x = 4\) en la fórmula \[ f(x) = 2x - 1 \] \[ f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7 \]

Solución a la Pregunta 2:

Para responder la pregunta, necesitamos resolver la ecuación dada para \(y\): \[ y = \pm \sqrt{x^2 + 2} \] \(y\) no es una función de \(x\) porque para un valor de la variable independiente \(x\) (entrada) obtenemos dos valores para la variable dependiente \(y\) (salida).

Solución a la Pregunta 3:

La expresión dentro de la raíz cuadrada es positiva para cualquier valor real de \( x \); por lo tanto, el dominio de la función \( f \) es el conjunto de todos los números reales.

Solución a la Pregunta 4:

Evalúa \( f(-9) \) sustituyendo \( x = -9 \) en la fórmula de la función: \[ f(-9) = |-9 - 1| + 3 = 10 + 3 = 13 \]

Solución a la Pregunta 5:

Calcula \( (f \circ g)(6) \) de la siguiente manera: \[ (f \circ g)(6) = f(g(6)) \] Evalúa \( g(6)\): \[ g(6) = \sqrt{6 + 3} = 3 \] Sustituye \( g(6) \) por \( 3 \) en \( f(g(6)) \): \[ f(g(6)) = f(3) \] Evalúa \( f(3) \): \[ f(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8 \] Por lo tanto, \[ (f \circ g)(6) = 8 \].

Solución a la Pregunta 6:

Tenemos \( f(x) = 0 \), lo que da la siguiente ecuación: \[ \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = 0 \] Para valores de \( x \neq 1 \), la ecuación anterior conduce a: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Resuelve la ecuación anterior factorizando: \[ (x - 1)(x + 3) = 0 \] Esta ecuación tiene dos soluciones: \[ x = 1 \quad \text{y} \quad x = -3 \] Sin embargo, \( x = 1 \) NO es una solución de \( f(x) = 0 \) porque hace que el denominador de \( f(x) \) sea igual a cero. Por lo tanto, el único valor de \( x \) para el cual \( f(x) = 0 \) es: \[ x = -3 \]

Solución a la Pregunta 7:

Comenzamos con la ecuación \( f(x) = g(x) \), que lleva a: \[ 3x + \sqrt{x} = 2x + 6 \] Reescribiendo la ecuación: \[ \sqrt{x} = -x + 6 \] Eleva al cuadrado ambos lados: \[ x = (-x + 6)^2 \] Simplifica: \[ x = x^2 + 36 - 12x \] Reescribe en forma cuadrática estándar: \[ x^2 - 13x + 36 = 0 \] Resuelve la ecuación cuadrática: \[ x = 4 \quad \text{o} \quad x = 9 \] Dado que elevamos al cuadrado ambos lados, pueden haberse introducido soluciones extrañas.
1) Verifica \( x = 4 \)
(lado izquierdo de la ecuación original) LHS = \( 3(4) + \sqrt{4} = 14 \)
(lado derecho de la ecuación original) RHS = \( 2(4)+6 = 14 \)
\( x = 4 \) satisface la ecuación original.
2) Verifica \( x = 9 \)
(lado izquierdo de la ecuación original) LHS = \( 3(9) + \sqrt{9} = 30 \)
(lado derecho de la ecuación original) RHS = \( 2(9)+6 = 24 \)
\( x = 9 \) NO satisface la ecuación original y, por lo tanto, no es una solución de la ecuación original.
Conclusión: \( x = 4 \) es el único valor para el cual \( f(x) = g(x) \).

Solución a la Pregunta 8:

Resuelve la ecuación dada para \(y\): \[ y + 1 = \pm (x^2+2) \] lo que da dos soluciones \[ y = -1 - (x^2 + 2) \quad \text{o} \quad y = -1 + (x^2 + 2) \] Las dos soluciones significan que para un valor de \(x\) obtenemos dos valores de \(y\), y por lo tanto \(y\) no es una función de \(x\).

Solución a la Pregunta 9:

El dominio de la función \( f \) es el conjunto de todos los valores reales de \( x \) para los cuales \( f(x) \) es real.
\( |x - 1| \) es positivo o cero en \( x = 1 \). Pero \( |x - 1| \) está en el denominador. Por lo tanto, el dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( 1 \).