Exponentes negativos: Preguntas y soluciones paso a paso - 8º grado

Esta página está diseñada para ayudar a estudiantes, padres y maestros a dominar el tema de los exponentes negativos a través de preguntas cuidadosamente seleccionadas y soluciones paso a paso con explicaciones. Expanda las soluciones ocultas debajo de cada pregunta para revelar las reglas fundamentales y el razonamiento detrás de cada paso.

Las preguntas en esta página cubren habilidades algebraicas esenciales, que incluyen:

Repaso: Reglas fundamentales de los exponentes

Nombre de la regla Fórmula
Regla del exponente negativo \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Exponente negativo en una fracción \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
Potencia de un producto \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Potencia de un cociente \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Regla del exponente cero \( a^0 = 1 \)   (donde \( a \neq 0 \))

Preguntas de práctica y soluciones

  1. Simplifique la expresión: \( 5^{-2} \)
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    Paso 1: Aplique la regla del exponente negativo \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \).
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    Paso 2: Evalúe el cuadrado en el denominador.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. Evalúe: \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
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    Paso 1: Utilice la regla del exponente negativo para fracciones \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \). Invierta la fracción y haga que el exponente sea positivo.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    Paso 2: Simplifique la fracción dentro del paréntesis.
    \[ = (-3)^2 \]
    Paso 3: Un número negativo elevado al cuadrado se vuelve positivo.
    \[ = 9 \]
  3. Simplifique la expresión: \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
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    Paso 1: Aplique la regla del exponente negativo para mover los factores a través de la barra de fracción. Un exponente negativo en el numerador se mueve al denominador, y un exponente negativo en el denominador se mueve al numerador.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    Paso 2: Simplifique.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. Evalúe: \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
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    Paso 1: Reescriba cada término usando la regla del exponente negativo.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    Paso 2: Evalúe los exponentes.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    Paso 3: Multiplique las fracciones.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. Simplifique la expresión: \( -2^{-3} \)
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    Paso 1: Comprenda el orden de las operaciones. El exponente se aplica solo a la base \(2\), no al signo negativo.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    Paso 2: Aplique la regla del exponente negativo a la base.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    Paso 3: Evalúe el exponente.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. Evalúe: \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
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    Paso 1: Aplique los exponentes antes de la suma o la negación. Tenga en cuenta que en \( -1^{-3} \), el exponente se aplica solo al \(1\).
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    Paso 2: Evalúe los denominadores.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    Paso 3: Encuentre un denominador común para sumar los términos.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. Evalúe: \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
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    Paso 1: Aquí, los paréntesis significan que el signo negativo es parte de la base. Aplique la regla del exponente negativo.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    Paso 2: Evalúe los exponentes. Un número negativo elevado a una potencia par es positivo.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    Paso 3: Encuentre un denominador común para sumar.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. Simplifique la expresión: \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
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    Paso 1: Aborde el primer término. El exponente \(-2\) se aplica solo al \(4\), no al signo negativo.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    Paso 2: Evalúe los exponentes.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    Paso 3: Multiplique y simplifique la fracción.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. Evalúe: \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
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    Paso 1: Aplique la regla del exponente negativo al primer término y recuerde la regla del exponente cero (\(a^0 = 1\)) para el segundo término.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    Paso 2: Evalúe el exponente. Un número negativo elevado a una potencia impar sigue siendo negativo.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    Paso 3: Simplifique.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. Evalúe: \( 0^{-3} \)
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    Paso 1: Reescriba usando la regla del exponente negativo.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    Paso 2: Evalúe el denominador.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    Paso 3: La división por cero es matemáticamente imposible. Por lo tanto, la expresión es indefinida.

Enlaces y referencias