Suma y Resta de Polinomios - Grado 9

Ejemplos y preguntas para el grado 9 sobre la suma y resta de polinomios se presentan junto con soluciones detalladas. Se incluyen más preguntas y sus soluciones con explicaciones detalladas.

Ejemplos de Polinomios

Un polinomio es la suma de varios monomios.

Ejemplo 1

Estos son ejemplos de polinomios \[ \quad x^2 + 3x -9 , \quad -4x^5 - 8 x^3 + 3x - 7 , \quad -\dfrac{1}{3} x^3 - 2 x^2 - 5 x + 1 , \quad x^2 + 2xy + y^2\] Para sumar y restar polinomios, necesitas saber cómo

1) eliminar paréntesis de polinomios usando la ley distributiva: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), que es una de las reglas básicas del álgebra.
2) y cómo sumar términos semejantes.
Ambas técnicas se explican a continuación.

Distribuir Signos que Preceden a los Paréntesis en Polinomios para Eliminar Paréntesis

En lo que sigue, usamos paréntesis para indicar multiplicación.

Por ejemplo, \( x \times y \quad \) puede escribirse como \( \quad (x)(y) \quad \) o \( \quad x(y) \quad \)

1) Polinomio entre paréntesis precedido por ningún signo o el signo más, como \((2 x - 5)\) o   \( +(2 x - 5) \quad \) son lo mismo que \( +1(2x - 5) \)

Usa la ley distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) para expandir y así eliminar paréntesis de la siguiente manera \[ \quad \quad (2 x - 5) = \color{red}{+1}(2x - 5) = \color{red}{+1}(2x) \color{red}{+1}(- 5) = (1)(2)x +(1)(-5) = 2 x - 5 \]
2) Polinomio entre paréntesis precedido por el signo menos, como \[ - (2 x - 5) \quad \text{ es equivalente a } -1(2x - 5) \] Usa la ley distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) para expandir y así eliminar paréntesis de la siguiente manera \[ \quad \quad - (2 x - 5) = \color{red}{-1}(2x - 5) = \color{red}-1(2x) \color{red}-1(- 5) = (-1)(2)x +(-1)(-5) = - 2 x + 5 \]


Sumar y Restar Términos Semejantes con Ejemplos

Ejemplos de monomios con términos semejantes
\( - x^2 , - 6 x^2 , - x^2 \quad \) son todos monomios con términos semejantes \( x^2 \) y pueden sumarse.
\( -2 y^2 x^2 , y^2 x^2 , - 2 x^2 y^2 \quad \) son todos monomios con términos semejantes \( x y^2 \) y pueden sumarse.
NOTA que los términos \( x^2 y^2 \) y \( y^2 x^2 \) en el ejemplo anterior son equivalentes

Ejemplo 2

Suma/resta los términos semejantes
a) \( 6x + 4x -5x \quad \) b) \( -x^2 + 5x^2 - 2x^2 \quad \) c) \( xy - 2xy+3yx \)

Solución al Ejemplo 2

a)
\[ \begin{split} 6x + 4x -5x & = \color{red}{6}x + \color{red}{4}x \color{red}{- 5}x \quad {\text{identificar los coeficientes}} \\\\ & = \color{red}{(6 + 4 - 5)} x \quad {\text{factorizar la variable y poner los coeficientes entre paréntesis}} \\\\ & = \color{red}{5} x \quad {\text{sumar/restar los coeficientes}} \end{split} \]
b)
\[ \begin{split} -x^2 + 5x^2 - 2x^2 &= \color{red}{-1}x^2 + \color{red}{5}x^2 \color{red}{-2}x^2 \quad {\text{identificar los coeficientes}} \\\\ & = \color{red}{(-1 + 5 - 2)} x^2 \quad {\text{factorizar la variable y poner los coeficientes entre paréntesis}} \\\\ & = \color{red}{2} x^2 \quad {\text{sumar/restar los coeficientes}} \end{split} \]
c)
\[ \begin{split} xy - 2xy+3xy &= \color{red}{1}x y \color{red}{-2}y x \color{red}{+3}yx \quad {\text{identificar los coeficientes (NOTA: \( x y = y x) \) }} \\\\ & = \color{red}{(1 - 2 + 3)} x y \quad {\text{identificar los coeficientes, factorizar las variables y poner los coeficientes entre paréntesis}} \\\\ & = \color{red}{2} xy \quad {\text{sumar/restar los coeficientes}} \end{split} \]

Sumar y Restar Polinomios con Ejemplos

Para sumar y/o restar polinomios, sumamos los monomios con términos semejantes incluidos en los polinomios a sumar y/o restar.

Ejemplo 3

Suma y/o resta los siguientes polinomios
  1. \((2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) \quad \)
  2. \( (3 x^3 - x^2 - 4) - ( 4 x^3 + x^2 - 5) \quad \)
  3. \( - (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) \)
  4. \( (x^2 + 2x - 5 ) - ( -3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3) \)

Solución al Ejemplo 3


  1. \[ \begin{split} (2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 2 x^2 + 4 x )} \color{red}{+1} \color{blue}{(4x^2 + 3x + 2)} \quad {\text{identificar signos que preceden a los paréntesis }}\\\\ & = \color{red}{+1}\color{green}{(2 x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(4 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(4 x^2)} \color{red}{+1}\color{blue}{(3 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(2)} \quad {\text{distribuir + 1 y eliminar paréntesis }}\\\\ & = \color{green}{ 2 x^2 + 4 x } + \color{blue}{4x^2 + 3x + 2} \quad {\text{Multiplicar y simplificar }}\\\\ & = (\color{green}{2x^2} + \color{blue}{4x^2}) + (\color{green}{4x} + \color{blue}{3x}) + \color{blue}{2} \quad {\text{agrupar términos semejantes entre paréntesis}}\\\\ & = 6x^2 + 7x + 2 \quad {\text{sumar términos semejantes entre paréntesis y simplificar}} \\\\ \end{split} \]

  2. \[ \begin{split} (3 x^3 - x^2 - 4) - (4 x^3 + x^2 - 5) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 3 x^3 - x^2 - 4)} \color{red}{-1} \color{blue}{(4 x^3 + x^2 - 5)} \quad {\text{identificar signos que preceden a los paréntesis }}\\\\ & = \color{red}{+1}\color{green}{(3 x^3)} \color{red}{+1}\color{green}{(-x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(-4)} \color{red}{-1}\color{blue}{(4x^3)} \color{red}{-1}\color{blue}{(x^2)} \color{red}{-1}\color{blue}{(-5)} \quad {\text{distribuir +1 y - 1 y eliminar paréntesis .}}\\\\ & = \color{green}{ 3 x^3 - x^2 - 4} \color{blue}{-4 x^3 - x^2 + 5} \quad {\text{Multiplicar y simplificar.}}\\\\ & = (\color{green}{3x^3} \color{blue}{- 4x^3}) + (\color{green}{-x^2} \color{blue}{- x^2}) + (\color{green}{-4} \color{blue}{+ 5}) \quad {\text{agrupar términos semejantes entre paréntesis}} \\\\ & = -x^3 - 2x^2 + 1 \quad {\text{sumar/restar términos semejantes entre paréntesis y simplificar}} \\\\ \end{split} \]

  3. \[ \begin{split} - (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) & = \color{red}{-1} \color{green}{( 6 x^2 y - 5 x y)} \color{red}{+1} \color{blue}{(- 5 x y + y x^2)} \quad {\text{identificar signos que preceden a los paréntesis }}\\\\ & = \color{green}{ - 6 x^2 y + 5 x y} \color{blue}{- 5 x y + y x^2} \quad {\text{distribuir -1 y + 1, eliminar paréntesis y simplificar.}}\\\\ & = (\color{green}{- 6 x^2 y} \color{blue}{+ y x^2}) + (\color{green}{5xy} \color{blue}{-5xy}) \quad {\text{agrupar términos semejantes entre paréntesis}} \\\\ & = - 5 x^2 y \quad {\text{sumar/restar términos semejantes entre paréntesis y simplificar}} \\\\ \end{split} \]

  4. \[ \begin{split} (x^2 + 2x - 5) - (-3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3) & = \color{red}{+1} \color{green}{( x^2 + 2x - 5)} \color{red}{-1} \color{blue}{(-3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3)} \quad {\text{identificar signos que preceden a los paréntesis }}\\\\ & = \color{green}{ x^2 + 2x - 5} \color{blue}{+3x^2 - \dfrac{2}{3} x + 3} \quad {\text{ distribuir +1 y - 1, eliminar paréntesis y simplificar.}}\\\\ & = (\color{green}{ x^2 } \color{blue}{+3 x^2}) + (\color{green}{2x} \color{blue}{-\dfrac{2}{3} x}) + (- \color{green}{5} \color{blue}{+3}) \quad {\text{agrupar términos semejantes entre paréntesis}} \\\\ & = ( \color{green}{1} \color{blue}{+ 3} ) x^2 + (\color{green}{2}\color{blue}{-\dfrac{2}{3} }) x + (\color{green}{-5} + \color{blue}{3}) \quad {\text{Factorizar variables para facilitar la suma/resta de términos con fracciones. }}\\\\ & = 4 x^2 + \dfrac{4}{3} x - 2 \quad {\text{sumar/restar términos entre paréntesis y simplificar}} \\\\ \end{split} \]

Preguntas

Las soluciones y explicaciones detalladas a las siguientes preguntas están incluidas.

  1. Suma y Resta los términos semejantes.
    1. ) \( 2x - 2x + 9x \)
    2. ) \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    3. ) \( -x y + \dfrac{2}{3} x y + \dfrac{1}{2}x y\)
    4. ) \( 0.2 x^3 + 2 x^3 - 0.5 x^3 \)
    5. ) \( x -0.3 x - \dfrac{1}{5}x \)

  2. Suma y Resta los siguientes polinomios.
    1. ) \( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
    2. ) \( (- 4x^3 - 2x + 1) - ( - x^3 - 5 x) \)
    3. ) \( - (2x^3 - 2x^2 + 1) + ( - x^3 - 5 x^2) \)
    4. ) \( - ( - x^4 y - 2 x^2 - 9 ) - ( - y x^4 - 5 x^2 + 1) \)
    5. ) \( ( - x^2 - 2 x ) - ( - x^2 - 5 x + 3) + ( x^2 - 4 ) \)
    6. ) \( ( x^3 - 2x^2 + 3) - ( \dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{1}{3}) \)
Soluciones y explicaciones detalladas a las preguntas anteriores están incluidas.

Más Referencias y Enlaces