Esta lección está diseñada para que los estudiantes de 9º grado dominen las operaciones que involucran monomios. Un monomio es un término algebraico único que consiste en un número real multiplicado por variables elevadas a potencias enteras no negativas.
A continuación, encontrará ejemplos claros que demuestran cómo identificar coeficientes, así como cómo sumar, restar, multiplicar y dividir monomios. Una vez que revise los ejemplos, ponga a prueba su comprensión con las preguntas de práctica, las cuales incluyen soluciones interactivas paso a paso.
1. Entendiendo los coeficientes de los monomios
Tomemos un número, como \(-2\), y una variable con un exponente, como \(x^2\), y multipliquémoslos: \(-2 \times x^2\). Para simplificar, eliminamos el símbolo de multiplicación y lo escribimos como un monomio: \(-2x^2\).
Ejemplos de monomios estándar incluyen: \( x \), \( 2x \), \( 3x^2 \), \( -0.1x \), \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \), \( -y \).
Definición: Coeficiente
El coeficiente de un monomio es la parte numérica situada delante del término.
Ejemplo 1: Identificación de coeficientes
- El coeficiente de \( \color{red}{2}x \) es \(2\).
- El coeficiente de \( \color{red}{-3}x^2 \) es \(-3\).
- El coeficiente de \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) es \(-\dfrac{5}{2}\).
- El coeficiente de \( x \) (que es \( \color{red}{1}x \)) es \(1\). Nota: Escribimos \(x\), no \(1x\).
- El coeficiente de \( -x^2 \) (que es \( \color{red}{-1}x^2 \)) es \(-1\). Nota: Escribimos \(-x^2\), no \(-1x^2\).
2. Sumar y restar monomios
Solo podemos sumar y restar monomios que son términos semejantes (lo que significa que tienen exactamente las mismas variables elevadas a las mismas potencias).
- \( -3x^2 \), \( 4x^2 \) y \( -x^2 \) son términos semejantes y se pueden sumar.
- \( -y^2x \), \( 4y^2x \) y \( -xy^2 \) son términos semejantes y se pueden sumar. (Nota: \(xy^2\) y \(y^2x\) son idénticos).
Ejemplo 2: Suma y resta
a) \( 2x + 4x \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(factorizar la variable } x\text{)} \\ &= 6x \quad && \text{(sumar los coeficientes)} \end{aligned} \]
b) \( 3x^2 - x^2 \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(factorizar la variable } x^2\text{)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(restar los coeficientes)} \end{aligned} \]
c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)
\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(agrupar los coeficientes)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]
3. Multiplicar monomios
Regla de multiplicación de exponentes
Puedes multiplicar cualquier par de monomios; no necesitan ser términos semejantes. Usa la regla del producto para los exponentes:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Ejemplo 3: Multiplicación
a) \( (x)(6x) \)
\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(agrupar coeficientes y variables)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(aplicar regla de exponentes)} \end{aligned} \]
b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)
\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]
4. Dividir monomios
Regla de división de exponentes
Puedes dividir dos monomios cualesquiera siempre que el divisor no sea cero. Usa la regla del cociente para los exponentes:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Ejemplo 4: División
a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]
b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]