Preguntas sobre Reducción de Expresiones Racionales con Soluciones

Se presenta un conjunto de preguntas sobre la reducción de expresiones racionales. Las respuestas se encuentran al final de la página con explicaciones detalladas incluidas.

El concepto matemático detrás de la reducción de expresiones racionales es similar al de la reducción de fracciones: encontrar una expresión racional equivalente dividiendo el numerador y el denominador por sus factores comunes.

1. Para todo \( x \ne 1 \), ¿cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión racional?

   \[ \dfrac{x^2 + 5x - 6}{x - 1} \]

   A) \( x - 6 \)
   B) \( x - 1 \)
   C) \( x + 6 \)
   D) \( -x - 6 \)
   E) \( 6 - x \)

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es una expresión simplificada igual a:

   \[ \dfrac{5 - x}{2x - 10} \]

   para todo \( x \ne 5 \)?

   A) \( -\frac{1}{2} \)
   B) \( \frac{1}{x - 5} \)
   C) \( -2 \)
   D) \( -\frac{1}{x - 5} \)
   E) \( \frac{1}{2} \)

3. Para todo \( x \ne -4 \), ¿cuál de las expresiones dadas es equivalente a:

   \[ \dfrac{16 - x^2}{x + 4} \]

   A) \( x - 4 \)
   B) \( 16 - 1 \)
   C) \( x + x \)
   D) \( -x - 4 \)
   E) \( 4 - x \)

4. Simplifica la expresión racional:

   \[ \dfrac{x + 2}{x^2 + 2x} \]

   A) \( \frac{1}{2x} \)
   B) \( \frac{1}{2x} \) para todo \( x \neq -2 \)
   C) \( \frac{1}{x} \)
   D) \( \frac{1}{x} \), para todo \( x \neq -2 \)
   E) \( \frac{1}{2} \)

5. Para todo \( x \ne 3 \), ¿qué expresión es equivalente a:

   \[ \dfrac{3-x}{x^2 - x - 6} \]

   A) \( -\frac{1}{x + 2} \)
   B) \( \frac{1}{x - 2} \)
   C) \( -\frac{1}{x - 2} \)
   D) \( \frac{1}{x - 3} \)
   E) \( -\frac{1}{x - 3} \)

6. Simplifica:

   \[ \dfrac{x^3 - x}{x^2 - 1} = \]

   A) \( x \)
   B) \( x \), para todo \( x \neq 1 \)
   C) \( x \), para todo \( x \neq 1 \) o \( -1 \)
   D) \( \frac{1}{x} \)
   E) \( x - 1 \)

7. Simplifica:

   \[ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x - 12} = \]

   A) \( \frac{x + 2}{x + 6} \), para todo \( x \)
   B) \( \frac{x + 2}{x + 6} \), para todo \( x \neq 2 \)
   C) \( \frac{x + 2}{x + 6} \), para todo \( x \neq -2 \)
   D) \( \frac{x + 2}{x + 6} \), para todo \( x \neq 0 \)
   E) \( \frac{1}{3} \)

8. Simplifica la expresión racional:

   \[ \dfrac{x^2 + 1}{x^3 + x} \]

   A) \( \frac{1}{x} \) para todo \( x \neq 1 \)
   B) \( x + 1 \), para todo \( x \neq -1 \)
   C) \( \frac{1}{2x} \)
   D) \( \frac{1}{x + 1} \) para todo \( x \neq 1 \)
   E) \( \frac{1}{x} \)

9. Simplifica:

   \[ \dfrac{x^2 + 2x - 3}{2x^2 + 3x - 5} = \]

   A) \( \frac{x + 3}{2x + 5} \), para todo \( x \neq 1 \)
   B) \( \frac{x + 3}{2x + 5} \), para todo \( x \)
   C) \( x + 3 \), para todo \( x \neq 1 \)
   D) \( \frac{1}{2x + 5} \), para todo \( x \)
   E) \( \frac{x + 3}{2x + 5} \), para todo \( x \neq -3 \)

10. Para todo \( x \ne 1 \), ¿qué expresión es equivalente a:

    \[ \dfrac{x-1}{(x^2 - 1)(x + 3)} \]

    A) \( \frac{1}{x + 3} \)
    B) \( \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \)
    C) \( \frac{1}{x + 1} \)
    D) \( \frac{1}{x} \)
    E) \( \frac{1}{x - 1} \)