Ejemplos de distribuciones de probabilidades hipergeométricas

La distribución de probabilidad hipergeométrica se utiliza en situaciones en las que los elementos se seleccionan y NO se reemplazan.
A continuación, usaremos la fórmula matemática para combinaciones dada por \[ \displaystyle {M \choose m} = \dfrac{M!}{m!(M-m)!} \quad , \quad \text{read as } \quad \text{"} m \quad\text{choose} \quad M \text{"} \].
donde \( M! = 1 \times 2 \times 3 ... \times (M-1) \times M \) , se lee como "M factorial".
La fórmula anterior proporciona el número de formas en que se seleccionan los elementos \( m \) entre los elementos \( M \) sin repeticiones. ( \( m \le M \) )

Fórmula de probabilidad hipergeométrica

La fórmula hipergeométrica se explica mejor mediante una pregunta.

Pregunta
Una caja contiene \( N \) bolas de las cuales \( R \) son bolas rojas y las restantes son bolas azules.
Se seleccionan \( n \) bolas (sin reemplazo) de la caja al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que \( x \) bolas de las \( n \) bolas seleccionadas sean rojas?

Solución

Hay \( \displaystyle {N \choose n} \) formas de seleccionar \( n \) bolas de un total de \( N \) bolas

Hay \( \displaystyle {R \choose x} \) formas de seleccionar \( x \) bolas rojas de un total de \( R \) bolas rojas
Si \( N \) es el número total de bolas y \( R \) son rojas, entonces \( N - R \) son azules.
Si \( x \) las bolas de \( n \) son rojas, entonces \( n - x \) son azules.
Por lo tanto, hay \( \displaystyle {N - R \choose n - x} \) formas de seleccionar \( n - x \) bolas azules de un total de \( N - R \) bolas azules.
El siguiente diagrama explica visualmente la situación descrita anteriormente.


Se da el número de formas de seleccionar \( x \) bolas rojas de un total de \( R \) bolas rojas y seleccionar \( n - x \) bolas azules de un total de \( N - R \) bolas azules por el principio de conteo como producto
\( \displaystyle {R \choose x} \displaystyle {N - R \choose n - x} \)
Por lo tanto, usando la fórmula de probabilidad clásica, se obtiene la probabilidad de que \( x \) salga de \( n \) las bolas seleccionadas son rojas viene dada por
\[ \displaystyle P(X = x) = \displaystyle \dfrac{ \displaystyle {R \choose x} {N - R \choose n - x} }{ \displaystyle {N \choose n} } \]

Ejemplos de probabilidades hipergeométricas con soluciones detalladas

Ejemplo 1
Se seleccionan al azar cuatro bolas de una caja que contiene 5 bolas rojas y 3 bolas blancas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione el mismo número de bolas rojas y blancas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen al menos 2 bolas rojas?

Solución al ejemplo 1
a)

Hay un total de 8 bolas; por lo tanto \( N = 8 \).
Hay 5 bolas rojas, por lo tanto \( R = 5 \) y \( N - R = 3 \) bolas blancas.
Un número igual de bolas rojas y blancas cuando \( n = 4 \) se seleccionan al azar significa \( x = 2 \) rojo y \( n - x = 2 \) blanco.
El número de formas de seleccionar 2 rojos de un total de 5 rojos está dado por \( { R \choose x} = { 5 \choose 2} \)
El número de formas de seleccionar 2 blancos de un total de 3 blancos viene dado por \( {N-R \choose x - 2} = {3 \choose 2} \)
El número de formas de seleccionar 4 bolas de un total de 8 bolas está dado por \( {N \choose n} = {8 \choose 4} \)
Sea \( X \) el número de bolas rojas seleccionadas.
Por eso
\( P(X = 2) = \dfrac{{5 \choose 2}{3 \choose 2} }{{8 \choose 4}} = 3/7 \)

b)
\( P (X \ge 2) = P (X = 2 ) + P (X = 3 ) + P (X = 4 ) \)

\( = \dfrac{{5 \choose 2}{3 \choose 2} }{{8 \choose 4}} + \dfrac{{5 \choose 3}{3 \choose 1} }{{8 \choose 4 }} + \dfrac{{5 \choose 4}{3 \choose 0} }{{8 \choose 4}} \)

\( = 3/7 + 3/7 + 1/14 = 13/14 \)

Ejemplo 2
Un inspector de control de calidad debe inspeccionar 15 herramientas, 2 de las cuales están defectuosas seleccionando 4 al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una herramienta defectuosa entre las cuatro seleccionadas al azar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna herramienta defectuosa entre las 4 seleccionadas al azar?
c) ¿Cuántas herramientas no defectuosas debemos agregar a las herramientas a inspeccionar, para que la probabilidad de tener herramientas no defectuosas entre las 4 seleccionadas sea de 0,70?

Solución al ejemplo 2
a)
Hay 15 herramientas, 2 defectuosas y 13 no defectuosas.
La probabilidad de que haya una herramienta defectuosa entre las 4 significa aleatoriamente que \( x = 3 \) no son defectuosas. Por eso
\( P(X = 3) = \dfrac{{13 \choose 3}{2 \choose 1} }{{15 \choose 4}} = 0,41905 \)

b)
Las cuatro herramientas no están defectuosas. Por eso
\( P(X = 4) = \dfrac{{13 \choose 4}{2 \choose 0} }{{15 \choose 4}} = 0,52381 \)

C)
Sea y el número de herramientas no defectuosas que se agregarán de modo que \(P(X = 4) = 0,70\). Por eso
\( P(X = 4) = \dfrac{{13 + y \choose 4}{2 \choose 0} }{{15 + y \choose 4}} = 0,70 \)

Ahora necesitamos resolver la ecuación.
\(\dfrac{{13 + y \choose 4}{2 \choose 0} }{{15 + y \choose 4}} = 0,70 \)

Usar fórmula para combinaciones
\( \dfrac{\dfrac{(13 + y )!}{4!(13+y-4)!}} {\dfrac{(15 + y )!}{4!(15+y-4)! }} = 0,70\)

Simplificar
\( {\dfrac{(13 + y )!}{(9+y)!}} {\dfrac{(11+y)!}{(15 + y )!}} = 0,70 \)

Tenga en cuenta que \( (15 + y )! = (13 + y )! (14+y)(15+y ) \)
y \( (11 + y )! = (9 + y )! (10+y)(11+y ) \)
y simplificar
\( \dfrac{(10+y)(11+y )}{ (14+y)(15+y )} = 0,70 \)

Multiplicación cruzada
\( (10+y)(11+y ) = 0,7 (14+y)(15+y ) \)

Expandir y agrupar términos semejantes y reescribir la ecuación en forma estándar.
\( 0.3y^2 + 0.7y - 37 = 0 \)

Resuelva para \( y \) y seleccione una solución positiva
\( y = 10 \)
Necesitamos agregar 10 herramientas no defectuosas para que la probabilidad llegue a 0,7.

Ejemplo 3
Se debe seleccionar al azar un comité de 6 personas de un grupo de 4 hombres y 8 mujeres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya igual número de hombres y mujeres en el comité?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 3 hombres en el comité?

Solución al ejemplo 3
a)

Son un total de 12 personas (4 hombres y 8 mujeres); por lo tanto \(N = 12 \).
Se selecciona aleatoriamente un número igual de hombres y mujeres \( n = 6 \) significa \( x = 3 \) hombres y \( n - x = 3 \) mujeres.
Sea \( X \) el número de hombres seleccionados.
Por eso
\( P(X = 3) = \dfrac{{4 \choose 3}{8 \choose 3} }{{12 \choose 6}} = 8/33 \)

b)
\( P (X \le 3) = P (X = 0 ) + P (X = 1 ) + P (X = 2 ) + P (X = 3 ) \)

\( = \dfrac{{4 \choose 0}{8 \choose 6} }{{12 \choose 6}} + \dfrac{{4 \choose 1}{8 \choose 5} }{{12 \choose 6 }} + \dfrac{{4 \choose 2}{8 \choose 4} }{{12 \choose 6}} + \dfrac{{4 \choose 3}{8 \choose 3} }{{12 \choose 6 }}\)

\( = 1/33 + 8/33 + 5/11 + 8/33 = 32/33 \)

Ejemplo 4
Se deben seleccionar al azar seis bolas de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas azules y 5 bolas blancas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen 3 bolas rojas, 2 azules y 1 blanca?

Solución al ejemplo 4
a)
Hay un total de 15 bolas; por lo tanto \( N = 15 \) y seleccionamos \( 6 \); por eso
Hay \( {15 \choose 6} \) formas de seleccionar 6 bolas de 15

Hay \( {6 \choose 3} \) formas de seleccionar 3 rojos de 6
Hay \( {4 \choose 2} \) formas de seleccionar 2 azules de 4
Hay \( {5 \choose 1} \) formas de seleccionar 1 blanco de 5
Sea \( X \) el número de bolas rojas seleccionadas.
Por eso
\( P(X = 3) = \dfrac{{6 \choose 3}{4 \choose 2} {5 \choose 1}}{{15 \choose 6}} = 120/1001 \)

Ejemplo 5
Se deben seleccionar siete números al azar entre los números enteros entre 1 y 49 inclusive. Sea \( P(X = x) \) la probabilidad de tener \( x \) números pares entre los 7 seleccionados.
¿Para qué valor de \( x \) es \( P(X=x) \) el más alto?

Solución al ejemplo 5
a)
Hay 24 números pares entre 1 y 49 inclusive y son: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36, 38,40,42,44,46,48
Hay 25 números impares entre 1 y 49 inclusive y son: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35, 37,39,41,43,45,47,49
Hay \( {49 \choose 7} \) formas de seleccionar 7 números de 49
Si \( x \) de 7 son pares, entonces \( 7 - x \) son impares.
Hay \( {24 \choose x} \) formas de seleccionar \( x \) números pares de los 24 impares enumerados anteriormente.
Hay \( {25 \choose 7-x} \) formas de seleccionar \( 7-x \) números impares de los 25 impares enumerados anteriormente.
La probabilidad \( P(X = x) \) está dada por

\( P(X = x) = \dfrac{{24 \choose x}{25 \choose 7 - x}}{{49 \choose 7}} \)

Ahora calculamos \( P(X = x) \) para todos los valores posibles de \( x \).

\( P(X = 0) = \dfrac{{24 \choose 0}{25 \choose 7}}{{49 \choose 7}} = 0.00560 \)

\( P(X = 1) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.04948 \)

\( P(X = 2) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.170708 \)

\( P(X = 3) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.29806 \)

\( P(X = 4) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.284513 \)

\( P(X = 5) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.148441 \)

\( P(X = 6) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.039172 \)

\( P(X = 7) = \dfrac{{24 \choose 3}{25 \choose 4}}{{49 \choose 7}} = 0.004029 \)

La distribución de probabilidad se representa gráficamente a continuación y la probabilidad de tener \( x = 3 \) números pares entre los 7 seleccionados es la más alta.

Más referencias y enlaces