Introducción a la Distribución Hipergeométrica
La distribución de probabilidad hipergeométrica modela escenarios donde los elementos se seleccionan sin reemplazo. Se aplica al muestrear de una población finita con dos grupos distintos (éxitos y fracasos).
La fórmula combinatoria es fundamental:
\[
\binom{M}{m} = \frac{M!}{m!(M-m)!}
\]
donde \( M! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (M-1) \times M \). Esto representa el número de formas de elegir \( m \) elementos de \( M \) elementos distintos sin importar el orden.
Ejemplos Resueltos de Probabilidad Hipergeométrica
Ejemplo 1: Selección de Bolas de Colores
Se seleccionan aleatoriamente cuatro bolas de una caja que contiene 5 rojas y 3 blancas.
- Encuentra la probabilidad de seleccionar igual número de bolas rojas y blancas.
- Encuentra la probabilidad de seleccionar al menos 2 bolas rojas.
Solución
Datos: \( N = 8 \), \( R = 5 \) (rojas), \( N-R = 3 \) (blancas), \( n = 4 \).
Parte (a): Necesitamos \( x = 2 \) bolas rojas (y por lo tanto 2 blancas).
\[
P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{3}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{3}{7}
\]
Parte (b): "Al menos 2 rojas" significa \( X \ge 2 \):
\[
\begin{aligned}
P(X \ge 2) &= P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\
&= \frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{\binom{8}{4}} + \frac{\binom{5}{3}\binom{3}{1}}{\binom{8}{4}} + \frac{\binom{5}{4}\binom{3}{0}}{\binom{8}{4}} \\
&= \frac{3}{7} + \frac{3}{7} + \frac{1}{14} = \frac{13}{14}
\end{aligned}
\]
Ejemplo 2: Inspección de Control de Calidad
Un inspector selecciona 4 herramientas de 15, donde 2 son defectuosas.
- Probabilidad de exactamente una defectuosa entre las 4.
- Probabilidad de ninguna herramienta defectuosa.
- ¿Cuántas herramientas no defectuosas deben agregarse para que la probabilidad de cero defectuosas sea 0.70?
Solución
Datos: \( N = 15 \), defectuosas = 2 (éxitos), no defectuosas = 13, \( n = 4 \).
Parte (a): Sea \( X \) el número de herramientas defectuosas. Queremos \( P(X = 1) \):
\[
P(X = 1) = \frac{\binom{2}{1} \binom{13}{3}}{\binom{15}{4}} = \frac{2 \times 286}{1365} \approx 0.41905
\]
Parte (b): Ninguna defectuosa significa 4 no defectuosas:
\[
P(X = 0) = \frac{\binom{13}{4} \binom{2}{0}}{\binom{15}{4}} = \frac{715 \times 1}{1365} \approx 0.52381
\]
Parte (c): Sea \( y \) = herramientas no defectuosas adicionales. Nuevos totales: \( N = 15 + y \), \( R = 13 + y \) (no defectuosas). Queremos:
\[
P(\text{4 no defectuosas}) = \frac{\binom{13+y}{4} \binom{2}{0}}{\binom{15+y}{4}} = 0.70
\]
Simplificando la relación combinatoria:
\[
\frac{(13+y)!}{4!(9+y)!} \times \frac{4!(11+y)!}{(15+y)!} = 0.70
\]
\[
\frac{(10+y)(11+y)}{(14+y)(15+y)} = 0.70
\]
Multiplicando en cruz y simplificando se obtiene:
\[
0.3y^2 + 0.7y - 37 = 0
\]
La solución positiva es \( y = 10 \). Por lo tanto, agregue 10 herramientas no defectuosas.
Ejemplo 3: Selección de un Comité
Un comité de 6 personas es seleccionado aleatoriamente de entre 4 hombres y 8 mujeres.
- Probabilidad de representación igualitaria por género.
- Probabilidad de a lo sumo 3 hombres.
Solución
Datos: \( N = 12 \), \( R = 4 \) (hombres), \( N-R = 8 \) (mujeres), \( n = 6 \).
Parte (a): Representación igualitaria significa 3 hombres y 3 mujeres:
\[
P(X = 3) = \frac{\binom{4}{3} \binom{8}{3}}{\binom{12}{6}} = \frac{4 \times 56}{924} = \frac{8}{33}
\]
Parte (b): "A lo sumo 3 hombres" incluye \( X = 0,1,2,3 \):
\[
\begin{aligned}
P(X \le 3) &= \sum_{x=0}^{3} \frac{\binom{4}{x} \binom{8}{6-x}}{\binom{12}{6}} \\
&= \frac{\binom{4}{0}\binom{8}{6} + \binom{4}{1}\binom{8}{5} + \binom{4}{2}\binom{8}{4} + \binom{4}{3}\binom{8}{3}}{\binom{12}{6}} \\
&= \frac{1 \cdot 28 + 4 \cdot 56 + 6 \cdot 70 + 4 \cdot 56}{924} = \frac{32}{33}
\end{aligned}
\]
Ejemplo 4: Selección Multicolor
Se seleccionan aleatoriamente seis bolas de 6 rojas, 4 azules y 5 blancas. Encuentra la probabilidad de seleccionar 3 rojas, 2 azules y 1 blanca.
Solución
Este es un escenario hipergeométrico multivariado. Total de bolas: \( N = 15 \), tamaño de muestra \( n = 6 \).
\[
P(\text{3R, 2A, 1B}) = \frac{\binom{6}{3} \binom{4}{2} \binom{5}{1}}{\binom{15}{6}} = \frac{20 \times 6 \times 5}{5005} = \frac{120}{1001}
\]
Ejemplo 5: Lotería de Números Pares
Siete números se seleccionan aleatoriamente de los enteros del 1 al 49. ¿Para qué número de números pares \( x \) se maximiza la probabilidad \( P(X=x) \)?
Solución
Hay 24 números pares (2,4,…,48) y 25 impares (1,3,…,49). Muestreamos \( n = 7 \). La probabilidad es:
\[
P(X = x) = \frac{\binom{24}{x} \binom{25}{7-x}}{\binom{49}{7}}
\]
Cálculo para \( x = 0 \) a \( 7 \):
- \( P(X=0) = \frac{\binom{24}{0} \binom{25}{7}}{\binom{49}{7}} \approx 0.00560 \)
- \( P(X=1) = \frac{\binom{24}{1} \binom{25}{6}}{\binom{49}{7}} \approx 0.04948 \)
- \( P(X=2) = \frac{\binom{24}{2} \binom{25}{5}}{\binom{49}{7}} \approx 0.17071 \)
- \( P(X=3) = \frac{\binom{24}{3} \binom{25}{4}}{\binom{49}{7}} \approx 0.29806 \) (máximo)
- \( P(X=4) = \frac{\binom{24}{4} \binom{25}{3}}{\binom{49}{7}} \approx 0.28451 \)
- \( P(X=5) = \frac{\binom{24}{5} \binom{25}{2}}{\binom{49}{7}} \approx 0.14844 \)
- \( P(X=6) = \frac{\binom{24}{6} \binom{25}{1}}{\binom{49}{7}} \approx 0.03917 \)
- \( P(X=7) = \frac{\binom{24}{7} \binom{25}{0}}{\binom{49}{7}} \approx 0.00403 \)
La probabilidad es más alta cuando \( x = 3 \) números pares.
