Este tutorial explica el método de completar el cuadrado, una técnica fundamental para reescribir expresiones cuadráticas. Esta forma es útil para encontrar el vértice de una parábola, resolver ecuaciones cuadráticas y para el cálculo.
El método se basa en la siguiente identidad algebraica:
\[ x^{2} + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2}\right)^{2} \]Esta fórmula nos permite convertir una expresión cuadrática de la forma \(x^2 + bx\) en un trinomio cuadrado perfecto menos una constante.
Completar el cuadrado para \(x^{2} + 4x\).
Solución:
\[ \begin{aligned} x^{2} + 4x &= \left(x + \frac{4}{2}\right)^{2} - \left(\frac{4}{2}\right)^{2} \\ &= (x + 2)^{2} - 4 \end{aligned} \]Completar el cuadrado para \(x^{2} + 2x + 5\).
Solución:
\[ \begin{aligned} x^{2} + 2x + 5 &= \left(x + \frac{2}{2}\right)^{2} - \left(\frac{2}{2}\right)^{2} + 5 \\ &= (x + 1)^{2} - 1 + 5 \\ &= (x + 1)^{2} + 4 \end{aligned} \]Completar el cuadrado para \(2x^{2} - 12x\). Factoriza el coeficiente principal primero.
Solución:
\[ \begin{aligned} 2x^{2} - 12x &= 2\left[ x^{2} - 6x \right] \\ &= 2\left[ \left(x + \frac{-6}{2}\right)^{2} - \left(\frac{-6}{2}\right)^{2} \right] \\ &= 2\left[ (x - 3)^{2} - 9 \right] \\ &= 2(x - 3)^{2} - 18 \end{aligned} \]Completar el cuadrado para \(-x^{2} - 10x\).
Solución:
\[ \begin{aligned} -x^{2} - 10x &= -\left[ x^{2} + 10x \right] \\ &= -\left[ \left(x + \frac{10}{2}\right)^{2} - \left(\frac{10}{2}\right)^{2} \right] \\ &= -\left[ (x + 5)^{2} - 25 \right] \\ &= -(x + 5)^{2} + 25 \end{aligned} \]Completar el cuadrado para \(-2x^{2} - 3x\).
Solución:
\[ \begin{aligned} -2x^{2} - 3x &= -2\left[ x^{2} + \frac{3}{2}x \right] \\ &= -2\left[ \left(x + \frac{3/2}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3/2}{2}\right)^{2} \right] \\ &= -2\left[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^{2} - \left(\frac{3}{4}\right)^{2} \right] \\ &= -2\left(x + \frac{3}{4}\right)^{2} + 2 \cdot \frac{9}{16} \\ &= -2\left(x + \frac{3}{4}\right)^{2} + \frac{9}{8} \end{aligned} \]Completar el cuadrado para \(-3x^{2} + 2x + 2\).
Solución:
\[ \begin{aligned} -3x^{2} + 2x + 2 &= -3\left[ x^{2} - \frac{2}{3}x \right] + 2 \\ &= -3\left[ \left(x + \frac{-2/3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{-2/3}{2}\right)^{2} \right] + 2 \\ &= -3\left[ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \right] + 2 \\ &= -3\left[ \left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} - \frac{1}{9} \right] + 2 \\ &= -3\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} + \frac{1}{3} + 2 \\ &= -3\left(x - \frac{1}{3}\right)^{2} + \frac{7}{3} \end{aligned} \]Completa el cuadrado para las siguientes expresiones cuadráticas.