Funciones cuadráticas - Problemas (1)


Este es un tutorial sobre el uso de las funciones cuadráticas para resolver problemas. Las soluciones y las explicaciones son detalladas.

Revisar
la gráfica de una función cuadrática de la forma

f (x) = ax 2 + bx + c

tiene un vértice en el punto (h, k), donde H y K están dadas por

h = -b/2a
y
k = c - b 2 / 4a

Asimismo, k = f (h).

Si a> 0, el vértice es un punto mínimo y el valor mínimo de la función cuadrática f es igual a k. Este valor mínimo se produce en x = h = -b/2a.

Si a <0, el vértice es un punto máximo y el valor máximo de la función cuadrática f es igual a k. Este valor máximo se produce en x = h = -b/2a.


Ejemplo - Problema 1: El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.

P (x) = 5000 + 1000x - 5x 2

donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.
  1. Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.

  2. Encuentra el máximo beneficio Pmax.

Solución del Problema 1:

  1. P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a
    x = H = -1000 / 2 (-5) = 100

  2. La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P
    k = c - b 2 / 4a

  3. La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)
    P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.

  4. Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
  5. Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000).

    Gráfico de beneficios P (x).



Ejemplo - Problema 2: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de los Vo pies / seg. Su distancia S (t), en los pies, por encima del suelo está dada por

S (t) = -16t 2 + v o t

Buscar Vo de manera que el punto más alto que el objeto puede alcanzar es de 300 pies sobre el suelo.

Solución del Problema 2:

  1. S (t) es una función cuadrática y el valor máximo de S (t) es dada por
    k = c - b 2 / 4a = 0 - (Vo) 2 / 4 (-16)

  2. Este valor máximo de S (t) tiene que ser de 300 pies para que el objeto de llegar a una distancia máxima desde el suelo de 300 pies.
    - (Vo) 2 / 4 (-16) = 300

  3. ahora resolvemos - (Vo) 2 / 4 (-16) = 300
    V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg.

  4. La gráfica de S (t) para V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg se muestra a continuación.

    Gráfico de S (t).



Más referencias y enlaces sobre las funciones de segundo grado en este sitio web.







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Actualizado: 27 de noviembre de 2007 (A Dendane)