Encontrar la ecuación de una función cuadrática desde su gráfica
Aprende a determinar la ecuación de una función cuadrática cuando se te da su gráfica. Esta guía explica tres métodos diferentes con ejemplos paso a paso.
Problema de ejemplo
Encuentra la ecuación de la función cuadrática f cuya gráfica se muestra a continuación:
Métodos de solución
Método 1: Usando las intersecciones con el eje X (forma factorizada)
La gráfica muestra intersecciones con el eje X en \((-3,0)\) y \((-1,0)\), y una intersección con el eje Y en \((0,6)\).
- Comienza con la forma factorizada usando las intersecciones con el eje X:
\[ f(x) = a(x + 3)(x + 1) \]
- Usa la intersección con el eje Y \(f(0) = 6\):
\[ 6 = a(0 + 3)(0 + 1) \]
- Resuelve para \(a\):
\[ 6 = a(3)(1) \]
\[ 6 = 3a \]
\[ a = 2 \]
- Escribe la ecuación final:
\[ f(x) = 2(x + 3)(x + 1) = 2x^2 + 8x + 6 \]
Método 2: Usando la forma del vértice
La parábola tiene vértice en \((-2, -2)\) e intersección con el eje Y en \((0,6)\).
- Comienza con la forma del vértice:
\[ f(x) = a(x + 2)^2 - 2 \]
- Usa la intersección con el eje Y \(f(0) = 6\):
\[ 6 = a(0 + 2)^2 - 2 \]
- Resuelve para \(a\):
\[ 6 = a(4) - 2 \]
\[ 8 = 4a \]
\[ a = 2 \]
- Escribe la ecuación final:
\[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 2 = 2x^2 + 8x + 6 \]
Método 3: Usando un sistema de ecuaciones (forma estándar)
Tres puntos en la gráfica: \((-3, 0)\), \((-1, 0)\) y \((0, 6)\).
- Forma cuadrática estándar:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
- Usando el punto \((0, 6)\):
\[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 6 \Rightarrow c = 6 \]
- Usando el punto \((-3, 0)\):
\[ f(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + 6 = 0 \]
\[ 9a - 3b + 6 = 0 \]
- Usando el punto \((-1, 0)\):
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 6 = 0 \]
\[ a - b + 6 = 0 \]
- Resuelve el sistema:
\[
\begin{cases}
9a - 3b = -6 \\
a - b = -6
\end{cases}
\]
- Solución: \(a = 2\), \(b = 8\)
- Ecuación final:
\[ f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \]
Fórmulas clave
- Forma estándar: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- Forma del vértice: \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) donde \((h,k)\) es el vértice
- Forma factorizada: \(f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\) donde \(r_1, r_2\) son las intersecciones con el eje X
Recursos de práctica
Usa este applet interactivo para generar problemas de práctica y verificar tus respuestas.
Temas relacionados