Funciones racionales

Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinómicas.

Éstos son algunos ejemplos de funciones racionales:

• g (x) = (x ² + 1) / (x - 1)
• h (x) = (2x + 1) / (x + 3)

Las funciones racionales para explorar en este tutorial son de la forma

Ejemplo: Encontrar el dominio de cada función se indican a continuación.

1. g (x) = (x - 1) / (x - 2)
2. h (x) = (x + 2) / x

Analitica

1. Para la función g que se determine, el denominador x - 2 debe ser diferente de cero o x no es igual a 2. Por lo tanto el dominio de g viene dada por
   (-Infinito, 2) U (2, + infinito).
   
   
2. Para h definición de la función, el denominador x debe ser diferente de cero o x no es igual a 0. Por lo tanto el dominio de h está dada por
   (-Infinito, 0) U (0, + infinito).

Tutorial interactivo

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1. Haga clic en el botón "haga clic aquí para empezar", por encima, para iniciar el applet y maximizar la ventana obtenidos.
   
2. Establecer una b a 1, a -1, a 1 c y d a -2 con el fin de definir la función g dada, en parte, a), del ejemplo anterior. Compruebe que la gráfica es discontinua en x = 2 (no el gráfico en x = 2).
   
3. Establecer una b a 1, a 2, a 1 c y d a 0 con el fin de definir la función h dada en el apartado b) del ejemplo anterior. Compruebe que la gráfica es discontinua en x = 0 (no el gráfico en x = 0).

¿Qué pasa si los ceros del numerador y el denominador de la función racional son iguales?

Ejemplo
f (x) = (2x + 2) / (x + 1)
= 2 (x + 1) / (x + 1)
= 2, para x no es igual a -1.

La gráfica de la función f es una línea horizontal con un agujero (función no definido) en x = -1.

Tutorial interactivo

1. Volver a la ventana del applet y establecer una a 2, b 2 y c d a 1 y 1 a. Compruebe que el gráfico es el de una línea horizontal. No es fácil observar el agujero desde la discontinuidad (agujero) en la gráfica tiene la dimensión de un píxel que es muy pequeño para ver.
   
2. Definir otra función racional con ceros iguales en el numerador y el denominador y comprobar que la gráfica es la de una línea horizontal.
   

Sea f (x) = 1 / x. f (x) no está definida en x = 0 (la división por cero no está permitido). Sin embargo ¿cuál es el comportamiento de la gráfica "cerca" de cero?

En los cuadros siguientes son valores de la función f cuando x tiende a cero desde la derecha (x> 0) y cuando x se aproxima a cero por la izquierda (x <0).

Observamos que cuando x tiende a cero por la derecha, f (x) toma valores mayores. ¿Hay un límite a los valores de f (x)? N, f (x) aumenta sin límite.

También observamos que cuando x tiende a cero por la izquierda, f (x) toma valores menores. ¿Hay un límite a los valores de f (x)? N, f (x) decrece sin límite. La línea vertical x = 0 se denomina a la asíntota vertical y está dado por el cero del denominador.

Tutorial interactivo

1. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 a 0 (f (x) = 1 / x). Observar el comportamiento de la gráfica a la izquierda ya la derecha de x = 0.
   
2. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 con distintos valores (0, 1, -1 ,.... Observar el comportamiento de la gráfica a la izquierda ya la derecha de x = d.

Sea f (x) = 1 / x. ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica de f como | x | se hace muy grande?

Cuentos muestran debajo de los valores de f cuando x se hace muy grande, y cuando x se hace muy pequeño.

Como x toma valores menores o como x toma valores mayores, f (x) toma valores cercanos a cero y la gráfica se aproxima a la línea recta horizontal y = 0. Esta línea se llama la asíntota horizontal.

Tutorial interactivo

1. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 a 0 (f (x) = 1 / x). Observar el comportamiento de la gráfica cuando x toma valores grandes (derecha) y cuando x toma valores más pequeños (a la izquierda). Tenga en cuenta que la gráfica se acerca al eje x (y = 0). Ampliar o si es necesario.
   
2. Establezca los parámetros a, b a 1, a 1, c y d a 1 a 2. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? Cambiar a y b solamente, a determinar las diferentes valores cero y no tenga en cuenta que la ecuación de la asíntota horizontal está dada por y = a / c.

Haga clic en "haga clic aquí para iniciar" a continuación para iniciar el applet y generar gráficas de funciones racionales de la forma

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