Relaciones en Matemáticas

La definición de una relación en matemáticas, junto con su dominio y rango, se presenta con ejemplos, preguntas y sus soluciones.

Definición de una Relación en Matemáticas

Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos llamados dominio y rango [1].

Ejemplo 1
La relación \( R_1 \) entre un grupo de cuatro estudiantes \( \{ \; \text{Sasha}\; , \; \text{Smith} \; , \; \text{Jane} \; , \; \text{John} \; \} \) y sus calificaciones en un examen \( \{ \; 85 \; , \; 92 \; , \; 71 \; \} \) se muestra en el diagrama a continuación.

Ejemplo 2
La relación \( R_2 \) entre la hora a la que se jugarán los partidos \( \{ 10 \; \text{am} \; , \; 1 \; \text{pm} \; , \; 4 \; \text{pm} \} \) y los pares de equipos \( \{ \text{A vs B} \; , \; \text{C vs D} \; , \; \text{E vs F} \; , \; \text{G vs H} \} \) que jugarán a esa hora se muestra a continuación.

Representaciones de las Relaciones

Usando la misma relación, describimos algunas de las representaciones más importantes de las relaciones en matemáticas.

Relaciones Representadas por Diagramas de Venn

Las relaciones usan un conjunto para el dominio y un conjunto para el rango, como se muestra en la figura 3, y flechas desde cada elemento en \( D \) hasta el elemento correspondiente en el rango \( R \).

Relaciones Representadas como un Conjunto de Pares Ordenados

Una relación también se puede representar como un conjunto de pares ordenados como se muestra a continuación. El primer elemento en un par ordenado es un elemento en el dominio \( D \) y el segundo elemento es el elemento correspondiente en el rango \( R \). \[ R_3 = \{ \; (2,3) \; , \; (4,1) \; , \; (6,4) \; , \; (7,2) \; , \; (7,6) \; \} \]

Relaciones Representadas por una Tabla

Una relación se puede representar mediante una tabla con dos filas (o dos columnas). Una fila \( x \) con elementos en el dominio \( D \) y una fila \( y \) con los elementos correspondientes en el rango \( R \), como se muestra a continuación.

Relaciones Representadas por Gráficas

Se usa un sistema de coordenadas rectangulares donde cada par ordenado se representa mediante un punto \( (x,y) \), donde \( x \) es un elemento en el dominio \( D \) y \( y \) es el elemento correspondiente en el rango \( R \).

Relaciones Representadas por Ecuaciones

La ecuación \( y = 3 x + 1 \) representa una relación entre \( x \) y \( y \). Dados valores de la variable \( x \) en el dominio \( D \) de la relación, podemos encontrar los valores correspondientes de \( y \) en el rango \( R \).
Por ejemplo, para \( x = \color{red}{2} \), calculamos el valor correspondiente de \( y \) sustituyendo \( x \) por \( \color{red}{2} \) en la ecuación dada:
\( y = 3(\color{red}{2}) + 1 \)
Simplificamos para obtener:
\( y = 7 \)
Si se nos dan varios valores de \( x \), es mejor usar una tabla como la siguiente:

Ejemplo 3
Dada la relación \( R_4= \{ \; (-1 , 3) \; , \; (2 , 4) \; , \; (5,7) \; , \; (2 , 6) \; \} \) como un conjunto de pares ordenados,
a) encuentra su dominio y rango,
y represéntala como:
b) una gráfica
c) tabla
d) un diagrama de Venn.


Solución al Ejemplo 3
a)
La relación \( R_4 \) se da como un conjunto de pares ordenados: \( \{ \; (\color{red}{-1} , \color{blue}{3}) \; , \; (\color{red}{2} , \color{blue}{4}) \; , \; (\color{red}{5},\color{blue}{7}) \; , \; (\color{red}{2} , \color{blue}{6}) \; \} \)
El dominio \( D \) es el conjunto de todos los valores del primer elemento en los pares ordenados.
\( \color{red}{D = \{ \; -1 , 2 , 5 \; \}} \)
El rango \( R \) es el conjunto de todos los valores del segundo elemento en los pares ordenados.
\( \color{blue}{R = \{ \; 3 , 4 , 6 , 7 \; \}} \)
b)
La relación \( R_4 \) representada por una gráfica se muestra en la figura 5 a continuación, donde cada punto corresponde a un par ordenado en la relación dada.

Preguntas

Parte A

La relación \( R_5 \) está dada por su gráfica en la figura 6 a continuación.
a) Representa la relación \( R_5 \) a) como un conjunto de pares ordenados, b) como una tabla, c) usando un diagrama de Venn.
b) Encuentra su dominio y rango.

Parte B

La relación \( R_6 \) está dada por una tabla a continuación.

Parte C

Da respuestas en representación de pares ordenados.
a) Da un ejemplo de dos relaciones diferentes con el mismo dominio.
b) Da un ejemplo de dos relaciones diferentes con el mismo rango.
c) Da un ejemplo de dos relaciones diferentes con el mismo dominio y rango.

Parte D

Una relación está definida por la ecuación \( y + 4 x = 2 \), donde \( x \) es una variable en el dominio de la relación que toma los valores: \( \{ -1 , 0 , 1 , 2 \} \).
a) Usa una tabla para encontrar los valores de \( y \) correspondientes a los valores dados de \( x \).
b) Representa la relación usando una gráfica.

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte A

Parte B

a) El dominio \( D \) es el conjunto de todos los primeros términos en los pares ordenados: \( D = \{ -2 \; , \; 0 \; , \; 1 \; , \; 3 \} \)
El rango \( R \) es el conjunto de todos los segundos términos en los pares ordenados: \( R = \{ 3 \; , \; 4 \; , \; 5 \; , \; 0 \} \)
b) Relación \( R_6 \) como un par ordenado: \( \{ \; (-2,3) \; , \; (-2,4) \; , \; (-2,5) \; , \; (0,4) \; , \; (1,0) \; , \; (3,0) \; \}\)
c) Relación \( R_6 \) representada por un diagrama de Venn:

Parte C

a) Las relaciones \( \; (-3,3) \; , \; (-2,4) \; , \; (0,5) \; , \; (4,5) \; \) y \( \; (-3,3) \; , \; (-2,8) \; , \; (0,5) \; , \; (4,0) \; \) tienen el mismo dominio pero son diferentes.
b) Las relaciones \( \; (0,3) \; , \; (-2,5) \; , \; (6,5) \; , \; (7,5) \; \) y \( \; (-3,3) \; , \; (-2,5) \; , \; (0,5) \; , \; (9,5) \; \) tienen el mismo rango pero son diferentes.
c) Las relaciones \( \; (-1,0) \; , \; (0,-5) \; , \; (4,5) \; , \; (7,8) \; \) y \( \; (-1,0) \; , \; (-1,-5) \; , \; (0,-5) \; , \; (4,5) \; , \; (7,8) \; \) tienen el mismo dominio y rango pero son diferentes.

Parte D

La relación está definida por la ecuación: \( y + 4 x = 2 \), que se puede escribir como \( y = - 4x + 2 \)
a) La variable \( x \) toma los valores: \( \{ -1 , 0 , 1 , 2 \} \), por lo tanto, la tabla de valores de \( x \) y los correspondientes \( y \) calculados usando la ecuación dada es la siguiente:

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