Pendiente de Rectas: Preguntas de Práctica con Soluciones Paso a Paso

Domina el concepto de pendiente con estos problemas de práctica y soluciones detalladas. Aprende a identificar rectas ascendentes, descendentes, horizontales y verticales, y comprende las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares.

Problemas de Práctica de Pendiente con Soluciones

Pregunta 1: Encontrar e Interpretar la Pendiente

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos y describe la recta como ascendente, descendente, horizontal o vertical.

  1. \( (2, 1), (4, 5) \)
  2. \( (-1, 0), (3, -5) \)
  3. \( (2, 1), (-3, 1) \)
  4. \( (-1, 2), (-1, -5) \)

Solución a la Pregunta 1

  1. La pendiente se calcula como:

    \[ m = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

    Como \( m > 0 \), la recta asciende cuando \( x \) aumenta.

  2. La pendiente se calcula como:

    \[ m = \frac{-5 - 0}{3 - (-1)} = \frac{-5}{4} = -\frac{5}{4} \]

    Como \( m < 0 \), la recta desciende cuando \( x \) aumenta.

  3. La pendiente se calcula como:

    \[ m = \frac{1 - 1}{-3 - 2} = \frac{0}{-5} = 0 \]

    Como \( m = 0 \), la recta es horizontal (paralela al eje x).

  4. La pendiente se calcula como:

    \[ m = \frac{-5 - 2}{-1 - (-1)} = \frac{-7}{0} \]

    La división por cero no está definida, por lo que la pendiente es indefinida y la recta es vertical (paralela al eje y).

Pregunta 2: Encontrar un Punto Dada la Pendiente

Una recta tiene una pendiente de \( -2 \) y pasa por el punto \( (2, 5) \). Encuentra otro punto que pertenezca a esta recta. (Múltiples soluciones posibles)

Solución a la Pregunta 2

Sean \( (x_1, y_1) \) las coordenadas del punto desconocido. Usando la fórmula de la pendiente:

\[ \frac{y_1 - 5}{x_1 - 2} = -2 \]

Esta ecuación tiene infinitas soluciones. Eligiendo \( x_1 = -1 \):

\[ \frac{y_1 - 5}{-1 - 2} = -2 \] \[ \frac{y_1 - 5}{-3} = -2 \] \[ y_1 - 5 = 6 \] \[ y_1 = 11 \]

Un punto posible es \( (-1, 11) \).

Verificación: \( \frac{11 - 5}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2 \) ✓

Pregunta 3: Rectas Paralelas y Perpendiculares

Determina si las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

  1. \( L_1: (1, 2), (3, 1) \)
    \( L_2: (0, -1), (2, 0) \)
  2. \( L_1: (0, 3), (3, 1) \)
    \( L_2: (-1, 4), (-7, -5) \)
  3. \( L_2: (2, -1), (5, -7) \)
    \( L_2: (0, 0), (-1, 2) \)
  4. \( L_1: (1, 0), (2, 0) \)
    \( L_2: (5, -5), (-10, -5) \)
  5. \( L_1: (-2, 5), (-2, 7) \)
    \( L_2: (5, 1), (5, 13) \)

Solución a la Pregunta 3

Sea \( m_1 \) = pendiente de \( L_1 \), \( m_2 \) = pendiente de \( L_2 \).

  1. \( m_1 = \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2} \), \( m_2 = \frac{0 - (-1)}{2 - 0} = \frac{1}{2} \)

    \( m_1 \neq m_2 \) y \( m_1 \times m_2 \neq -1 \), por lo que las rectas no son paralelas ni perpendiculares.

  2. \( m_1 = \frac{1 - 3}{3 - 0} = -\frac{2}{3} \), \( m_2 = \frac{-5 - 4}{-7 - (-1)} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} \)

    \( m_1 \times m_2 = -\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = -1 \), por lo que las rectas son perpendiculares.

  3. \( m_1 = \frac{-7 - (-1)}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2 \), \( m_2 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2 \)

    \( m_1 = m_2 \), por lo que las rectas son paralelas.

  4. \( m_1 = \frac{0 - 0}{2 - 1} = 0 \), \( m_2 = \frac{-5 - (-5)}{-10 - 5} = \frac{0}{-15} = 0 \)

    \( m_1 = m_2 = 0 \), por lo que ambas rectas son horizontales y paralelas.

  5. \( m_1 = \frac{7 - 5}{-2 - (-2)} = \frac{2}{0} \) (indefinida), \( m_2 = \frac{13 - 1}{5 - 5} = \frac{12}{0} \) (indefinida)

    Ambas pendientes son indefinidas, por lo que ambas rectas son verticales y paralelas.

Pregunta 4: Propiedades de la Pendiente

¿Pueden dos rectas con pendientes negativas ser perpendiculares?

Solución a la Pregunta 4

No. Para rectas perpendiculares, \( m_1 \times m_2 = -1 \). Si ambas pendientes son negativas, su producto sería positivo, nunca -1.

Ejercicios de Práctica Adicionales

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos y describe la recta.

  1. \( (3, -1), (3, 5) \)
  2. \( (-1, 0), (3, 7) \)
  3. \( (2, 1), (6, 0) \)
  4. \( (-5, 2), (9, 2) \)

Ejercicio 2: Encontrar un Punto Dada la Pendiente

Una recta tiene pendiente \( 5 \) y pasa por \( (1, -4) \). Encuentra otro punto en esta recta.

Ejercicio 3: Rectas Paralelas y Perpendiculares

Determina si las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

  1. \( L_1: (1, 2), (1, 1) \)
    \( L_2: (-4, -1), (-4, 0) \)
  2. \( L_1: (2, 3), (3, 1) \)
    \( L_2: (1, -2), (7, -5) \)
  3. \( L_1: (1, -1), (2, -2) \)
    \( L_2: (0, 0), (1, 1) \)
  4. \( L_1: (1, 9), (-2, 9) \)
    \( L_2: (18, -1), (0, -1) \)

Ejercicio 4: Propiedades de la Pendiente

¿Pueden dos rectas con pendientes positivas ser perpendiculares?

Soluciones de los Ejercicios

Solución al Ejercicio 1

  1. \( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 3} = \frac{6}{0} \) (indefinida, recta vertical)
  2. \( m = \frac{7 - 0}{3 - (-1)} = \frac{7}{4} \) (positiva, recta ascendente)
  3. \( m = \frac{0 - 1}{6 - 2} = -\frac{1}{4} \) (negativa, recta descendente)
  4. \( m = \frac{2 - 2}{9 - (-5)} = 0 \) (cero, recta horizontal)

Solución al Ejercicio 2

Usando la fórmula de la pendiente con el punto \( (x_1, y_1) \):

\[ \frac{y_1 - (-4)}{x_1 - 1} = 5 \]

Eligiendo \( y_1 = 11 \):

\[ \frac{11 + 4}{x_1 - 1} = 5 \] \[ \frac{15}{x_1 - 1} = 5 \] \[ 15 = 5(x_1 - 1) \] \[ x_1 = 4 \]

Un punto posible: \( (4, 11) \).

Solución al Ejercicio 3

  1. \( m_1 = \frac{1 - 2}{1 - 1} = \frac{-1}{0} \) (indefinida), \( m_2 = \frac{0 - (-1)}{-4 - (-4)} = \frac{1}{0} \) (indefinida). Ambas verticales, por lo tanto paralelas.
  2. \( m_1 = \frac{1 - 3}{3 - 2} = -2 \), \( m_2 = \frac{-5 - (-2)}{7 - 1} = -\frac{1}{2} \). Producto \( = 1 \neq -1 \), por lo tanto ninguna de las dos.
  3. \( m_1 = \frac{-2 - (-1)}{2 - 1} = -1 \), \( m_2 = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \). Producto \( = -1 \), por lo tanto perpendiculares.
  4. \( m_1 = \frac{9 - 9}{-2 - 1} = 0 \), \( m_2 = \frac{-1 - (-1)}{0 - 18} = 0 \). Ambas horizontales, por lo tanto paralelas.

Solución al Ejercicio 4

No. Para rectas perpendiculares, \( m_1 \times m_2 = -1 \). Si ambas pendientes son positivas, su producto es positivo, nunca -1.

Recursos Adicionales