Se presenta un tutorial sobre cómo usar el método del factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden en cálculo, junto con ejemplos y sus soluciones detalladas, y también ejercicios con respuestas.
La forma general de la ecuación diferencial lineal de primer orden es la siguiente
\[ \dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]
donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones de \( x \).
Si multiplicamos todos los términos en la ecuación diferencial dada anteriormente por una función desconocida \( u(x) \), la ecuación se convierte en
\[ u(x) \dfrac{dy}{dx} + u(x) P(x) y = u(x) Q(x) \]
El lado izquierdo en la ecuación anterior tiene un término \( u \dfrac{dy}{dx} \); podríamos pensar en escribir todo el lado izquierdo \( u(x) \dfrac{dy}{dx} + u(x) P(x) y \) de la ecuación como \( \dfrac{d(uy)}{dx} \). Usando la regla del producto de derivadas, obtenemos
\[ \dfrac{d(uy)}{dx} = y \dfrac{du}{dx} + u \dfrac{dy}{dx} \]
Para que \( y \dfrac{du}{dx} + u \dfrac{dy}{dx} \) y \( u(x) \dfrac{dy}{dx} + u(x) P(x) y \) sean iguales, necesitamos tener
\[ y \dfrac{du}{dx} + u \dfrac{dy}{dx} = u(x) \dfrac{dy}{dx} + u(x) P(x) y \]
Comparando los dos lados de la ecuación anterior obtenemos
\[ y \dfrac{du}{dx} = u(x) P(x) y \]
Dividiendo ambos lados por \( y \) obtenemos
\[ \dfrac{du}{dx} = u(x) P(x) \]
Lo cual puede escribirse como
\[ \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} = P(x) \]
Integramos ambos lados para obtener
\[ \ln(u) = \int P(x) \,dx \]
Resolvemos esto para \( u \) para obtener
\[ u(x) = e^{ \int P(x) \,dx} \]
\( u(x) \) se llama el factor integrante. Se ha encontrado una solución para la función desconocida \( u \). Esto ayudará a resolver las ecuaciones diferenciales.
\[ \dfrac{d(uy)}{dx} = u(x) Q(x) \]
Integramos ambos lados para obtener
\[ u(x) y = \int u(x) Q(x) \,dx \]
Finalmente, resolvemos para \( y \) para obtener
\[ y = \dfrac{1}{u(x)} \int u(x) Q(x) \,dx \]
Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial
Solución del Ejemplo 1
Comparando la ecuación diferencial dada con la ecuación diferencial de primer orden general, tenemos
\( P(x) = -2x \) y \( Q(x) = x \)
Ahora encontramos el factor integrante \( u(x) \)
\( u(x) = e^{\int P(x) \,dx} \)
\( = e^{\int -2x \,dx} \)
\( = e^{-x^2} \)
Ahora sustituimos \( u(x) = e^{-x^2} \) y \( Q(x) = x \) en la ecuación \( u(x) y = \int u(x) Q(x) \,dx \) para obtener
\( e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2} \,dx \)
Integramos el término del lado derecho para obtener
\( e^{-x^2}y = -\dfrac{1}{2}e^{-x^2} + C \), \( C \) es una constante de integración.
Resolvemos esto para \( y \) para obtener
\( y = Ce^{x^2} - \dfrac{1}{2} \)
Como práctica, encuentre \( \dfrac{dy}{dx} \) y sustituya \( y \) y \( \dfrac{dy}{dx} \) en la ecuación dada para verificar que la solución encontrada sea correcta.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial
Solución del Ejemplo 2
Primero encontramos \( P(x) \) y \( Q(x) \)
\( P(x) = \dfrac{1}{x} \) y \( Q(x) = -2 \)
El factor integrante \( u(x) \) está dado por
\( u(x) = e^{\int P(x) \,dx} \)
\( = e^{\int \dfrac{1}{x} \,dx} \)
\( = e^{\ln |x|} = |x| = x \) dado que \( x > 0 \).
Ahora sustituimos \( u(x) = x \) y \( Q(x) = -2 \) en la ecuación \( u(x) y = \int u(x) Q(x) \,dx \) para obtener
\( xy = \int -2x \,dx \)
Integramos el término del lado derecho para obtener
\( xy = -x^2 + C \), \( C \) es una constante de integración.
Resolvemos esto para \( y \) para obtener
\( y = \dfrac{C}{x} - x \)
Como ejercicio, encuentre \( \dfrac{dy}{dx} \) y sustituya \( y \) y \( \dfrac{dy}{dx} \) en la ecuación dada para verificar que la solución encontrada sea correcta.
Ejemplo 3: Resolver la ecuación diferencial
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y = -x^3 \quad \text{para} \; x > 0 \]
Solución del Ejemplo 3
Primero dividimos todos los términos de la ecuación por \( x \) para obtener
\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x} = -x^2 \)
Ahora encontramos \( P(x) \) y \( Q(x) \)
\( P(x) = \dfrac{1}{x} \) y \( Q(x) = -x^2 \)
El factor integrante \( u(x) \) está dado por
\( u(x) = e^{\int P(x) \,dx} \)
\( = e^{\int \dfrac{1}{x} \,dx} \)
\( = e^{\ln |x|} = |x| = x \) dado que \( x > 0 \).
Ahora sustituimos \( u(x) = x \) y \( Q(x) = -x^2 \) en la ecuación \( u(x) y = \int u(x) Q(x) \,dx \) para obtener
\( xy = \int -x^3 \,dx \)
La integración del término del lado derecho da como resultado
\( xy = -\dfrac{x^4}{4} + C \), \( C \) es una constante de integración.
Resolvemos esto para \( y \) para obtener
\( y = \dfrac{C}{x} - \dfrac{x^3}{4} \)
Como ejercicio, encuentre \( \dfrac{dy}{dx} \) y sustituya \( y \) y \( \dfrac{dy}{dx} \) en la ecuación dada para verificar que la solución encontrada sea correcta.
NOTA: Si puedes "ver" que el lado derecho de la ecuación dada
\( x \dfrac{dy}{dx} + y = -x^3 \)
puede escribirse como \( \dfrac{d(xy)}{dx} \), la solución se puede encontrar fácilmente de la siguiente manera
\( \dfrac{d(xy)}{dx} = -x^3 \)
Integramos ambos lados para obtener
\( xy = -\dfrac{x^4}{4} + C \).
Luego resolvemos para \( y \) para obtener
\( y = -\dfrac{x^3}{4} + \dfrac{C}{x} \)
Más referencias en
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales - Método de Runge Kutta
