Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden utilizando el método del factor integrante. Encontrarás una deducción clara de la fórmula, seguida de ejemplos completamente resueltos y ejercicios de práctica con respuestas.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones conocidas de \(x\).
Multiplicamos ambos lados por una función desconocida \(u(x)\):
\[ u(x)\frac{dy}{dx}+u(x)P(x)y=u(x)Q(x) \]Queremos que el lado izquierdo se convierta en la derivada de un producto. Usando la regla del producto:
\[ \frac{d(uy)}{dx}=y\frac{du}{dx}+u\frac{dy}{dx} \]Para que esto coincida con la expresión anterior, requerimos
\[ y\frac{du}{dx}=uP(x)y \]Dividiendo por \(y\):
\[ \frac{du}{dx}=uP(x) \]o
\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx}=P(x) \]Integrando:
\[ \ln u=\int P(x)\,dx \]Por lo tanto, el factor integrante es
\[ u(x)=e^{\int P(x)\,dx} \]Multiplicando la ecuación original por este factor se obtiene
\[ \frac{d(uy)}{dx}=u(x)Q(x) \]Integrando ambos lados:
\[ u(x)y=\int u(x)Q(x)\,dx \]Finalmente,
\[ y=\frac{1}{u(x)}\int u(x)Q(x)\,dx \]Resolver:
\[ \frac{dy}{dx}-2xy=x \]Aquí \(P(x)=-2x\), \(Q(x)=x\).
\[ u(x)=e^{\int -2x\,dx}=e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y=\int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y=-\frac12 e^{-x^2}+C \] \[ y=Ce^{x^2}-\frac12 \]Resolver para \(x>0\):
\[ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=-2 \] \[ u(x)=e^{\int \frac1x dx}=x \] \[ xy=\int -2x\,dx=-x^2+C \] \[ y=\frac{C}{x}-x \]Dividir por \(x\):
\[ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=-x^2 \] \[ u(x)=x \] \[ xy=\int -x^3\,dx=-\frac{x^4}{4}+C \] \[ y=\frac{C}{x}-\frac{x^3}{4} \]Resolver:
1. \(\dfrac{dy}{dx}+y=2x+5\)
2. \(\dfrac{dy}{dx}+y=x^4\)
1. \(y=2x+3+Ce^{-x}\)
2. \(y=x^4-4x^3+12x^2-24x+24+Ce^{-x}\)
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Consejo: El método del factor integrante es fundamental en cálculo y aparece frecuentemente en física, ingeniería y matemáticas aplicadas.