Un tutorial sobre cómo determinar el orden y la linealidad de una ecuación diferencial.
Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta incluida en la ecuación.
Ejemplo 1: Indique el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales
\(
1) \dfrac{dy}{dx} + y^2 x = 2x \\\\
2) \dfrac{d^2y}{dx^2} + x \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \\\\
3) 10 y'' - y = e^x \\\\
4) \dfrac{d^3}{dx^3} - x\dfrac{dy}{dx} +(1-x)y = \sin y
\)
Solución del Ejemplo 1
1. La derivada más alta es \( dy/dx \), la primera derivada de \( y \). Por lo tanto, el orden es 1.
2. La derivada más alta es \( d^2y / dx^2 \), una segunda derivada. Por lo tanto, el orden es 2.
3. La derivada más alta es la segunda derivada \( y'' \). El orden es 2.
4. La derivada más alta es la tercera derivada \( d^3 / dy^3 \). El orden es 3.
Linealidad de una Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y todas sus derivadas aparecen linealmente en la ecuación.
Ejemplo 2: ¿Cuáles de estas ecuaciones diferenciales son lineales?
\(
1) \dfrac{dy}{dx} + x^2 y = x \\\\
2) \dfrac{1}{x}\dfrac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\\\
3) \dfrac{dy}{dx} - \ln y = 0\\\\
4) \dfrac{d^3y}{dx^3} - 2 \dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} = 2\sin x
\)
Solución del Ejemplo 2
1. Tanto \( dy/dx \) como \( y \) son lineales. La ecuación diferencial es lineal.
2. El término \( y^3 \) no es lineal. La ecuación diferencial no es lineal.
3. El término \( \ln y \) no es lineal. Esta ecuación diferencial no es lineal.
4. Los términos \( d^3 y / dx^3 \), \( d^2 y / dx^2 \) y \( dy / dx \) son todos lineales. La ecuación diferencial es lineal.
Ejemplo 3:
Forma general de la ecuación diferencial lineal de primer orden.
\[
\dfrac{dy}{dx}+P(x) y = Q(x)
\]
Ejemplo 4:
Forma general de la ecuación diferencial lineal de segundo orden.
\[
\dfrac{d^2y}{dx^2}+P(x)\dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x)
\]
Ejercicios:
Determine el orden y establezca la linealidad de cada diferencial a continuación.
\(
1) (\dfrac{d^3y}{dx^3})^4 + 2
\dfrac{dy}{dx} = \sin x \\
2) \dfrac{dy}{dx} - 2x y = x^2- x \\\\
3) \dfrac{dy}{dx} - \sin y = - x \\\\
4) \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2x y\\\\
\)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
1. Orden 3, no lineal.
2. Orden 1, lineal.
3. Orden 1, no lineal.
4. Orden 2, lineal.
