Resolución de Ecuaciones Diferenciales Simples
Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales simples de primer orden de la forma
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]Estas ecuaciones se resuelven integrando ambos lados con respecto a \(x\). La constante \(C\) representa la constante de integración.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1
Resolver:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]Solución
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]Puedes verificar mediante derivación que esto satisface la ecuación original.
Ejemplo 2
Resolver:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]Solución
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \] Sea \(u = 2x\), entonces \(du = 2dx\): \[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]Ejemplo 3
Resolver:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]Solución
Multiplica ambos lados por \(e^x\), simplifica y reescribe como: \[ y' = -e^{3x} \] Integra: \[ y = \int -e^{3x}\,dx \] Sea \(u=3x\), \(du=3dx\): \[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]Ejercicios Prácticos
Resuelve los siguientes:
a) \(2\frac{dy}{dx} = 6x\)
b) \(y'\cos(x)=\sin(2x)\)
c) \(y'e^x=e^{3x}\)
Respuestas
a) \(y=\frac{3}{2}x^2+C\)
b) \(y=-2\cos(x)+C\)
c) \(y=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)
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