Este es un tutorial sobre la resolución de ecuaciones diferenciales simples de primer orden diferenciales de la forma
\( \)\( \)\( \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = f(x) \]
Se presenta un conjunto de ejemplos con soluciones detalladas y un conjunto de ejercicios se presenta después de los tutoriales. Dependiendo de \( f(x) \), estas ecuaciones pueden resolverse analíticamente mediante integración. En lo que sigue, \( C \) es una constante de integración y puede tomar cualquier valor constante.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1:
Resolver y encontrar una solución general a la ecuación diferencial.
\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x + 1 \]
Solución al Ejemplo 1:
Integrar ambos lados de la ecuación.
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1) \, dx \]
lo que da
\[ y = x^2 + x + C \]
Como práctica, verifique que la solución obtenida satisfaga la ecuación diferencial dada anteriormente.
Ejemplo 2:
Resolver y encontrar una solución general a la ecuación diferencial.
\[ 2\dfrac{dy}{dx} = \sin(2x) \]
Solución al Ejemplo 2:
Escribir la ecuación diferencial de la forma \( y' = f(x) \).
\[ y' = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \]
Integrar ambos lados
\[ \int y' \, dx = \int \dfrac{1}{2} \sin(2x) \, dx \]
Sea \( u = 2x \) para que \( du = 2 dx \), el lado derecho se convierte en
\[ y = \int \dfrac{1}{4} \sin(u) \, du \]
Lo que da
\[ y = -\dfrac{1}{4} \cos(u) = -\dfrac{1}{4} \cos(2x) \]
Ejemplo 3:
Resolver y encontrar una solución general a la ecuación diferencial.
\[ y' e^{-x} + e^{2x} = 0 \]
Solución al Ejemplo 3:
Multiplicar todos los términos de la ecuación por \( e^x \), simplificar y escribir la ecuación diferencial de la forma \( y' = f(x) \).
\[ y' = -e^{3x} \]
Integrar ambos lados de la ecuación
\[ \int y' \, dx = \int -e^{3x} \, dx \]
Sea \( u = 3x \) para que \( du = 3 dx \), escribir el lado derecho en términos de \( u \)
\[ y = \int -\dfrac{1}{3} e^{u} \, du \]
Lo que da
\[ y = -\dfrac{1}{3} e^{u} = -\dfrac{1}{3} e^{3x} \]
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
a) \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
b) \( y' \cos(x) = \sin(2x) \)
c) \( y' e^{x} = e^{3x} \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
a) \( y = \dfrac{3}{2} x^2 + C \)
b) \( y = -2 \cos(x) + C \)
c) \( y = \dfrac{1}{2} e^{2x} + C \)
