Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes cuando la ecuación auxiliar tiene dos soluciones reales iguales. Se incluyen ejemplos paso a paso con soluciones detalladas.
Consideremos una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Su ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Si el discriminante satisface:
\[ b^2 - 4c = 0 \]entonces la ecuación tiene dos soluciones reales iguales, dadas por:
\[ k = -\frac{b}{2} \]En este caso, la solución general de la ecuación diferencial es:
\[ y(x) = A e^{k x} + B x e^{k x} \]donde \(A\) y \(B\) son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
Sea \(y = x e^{kx}\). Entonces las derivadas son:
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]Sustituyendo en la ecuación diferencial:
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]Factorizamos y simplificamos:
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]Como \(k^2 + b k + c = 0\) y \(2k + b = 0\) cuando \(k = -\frac{b}{2}\), la solución satisface la ecuación diferencial.
Resolver:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \] \[ (k + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -1 \]La solución general es:
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]donde \(A\) y \(B\) son constantes. Puedes verificar por sustitución que esta solución satisface la ecuación diferencial.
Resolver con condiciones iniciales \(y(0) = 4\) y \(y'(0) = 0\):
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar es:
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \] \[ (k - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \]La solución general es:
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]Aplicamos las condiciones iniciales:
\[ y(0) = A = 4 \] \[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \quad \Rightarrow \quad y'(0) = 2A + B = 0 \] \[ B = -2A = -8 \]Solución final:
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]