Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con la ecuación auxiliar que tiene 2 soluciones reales iguales. Se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
Dada la ecuación auxiliar de una ecuación diferencial de segundo orden
\[ k^2 + b k + c = 0 \]
Mostrar que si \( b^2 - 4 c = 0 \), en cuyo caso la ecuación anterior da dos soluciones reales iguales y \( y = x e^{kx} \) es una solución general a la ecuación diferencial de segundo orden
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + b \dfrac{dy}{dx} + c y = 0 \].
Si \( y = x e^{kx} \), entonces
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx} \] y \[ y'' = 2 k e^{kx} + x k^2 e^{kx} \].
Sustituir \( y \), \( y' \) y \( y'' \) obtenidos arriba en la ecuación diferencial, obtenemos
\[ 2 k e^{kx} + x k^2 e^{kx} + b (e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) = 0 \]
Si \( b^2 - 4 c = 0 \), la ecuación auxiliar tiene dos soluciones reales iguales dadas por \( k = - \dfrac{b}{2} \).
Sustituir \( k \) por \( - \dfrac{b}{2} \) en la ecuación anterior, agrupar términos semejantes y simplificar para obtener
\[ e^{kx} \left( - \dfrac{b^2}{4} + c \right) = 0 \].
Dado que \( b^2 - 4 c = 0 \), el término \( ( - \dfrac{b^2}{4} + c ) \) en la ecuación anterior también es igual a cero y por lo tanto la solución sugerida satisface la ecuación diferencial dada anteriormente.
En caso de que la ecuación auxiliar dé dos soluciones reales iguales, la solución de la ecuación diferencial está dada por
\[ y = A e^{kx} + B x e^{kx} \]
Usando ejemplos, se mostrará cómo se pueden resolver ecuaciones diferenciales.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial de segundo orden dada por
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \]
Solución al Ejemplo 1
La ecuación auxiliar está dada por
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \]
Factorizar la ecuación cuadrática anterior y resolver para \( k \)
\[ (k + 1)^2 = 0 \]
\( k = - 1 \), dos soluciones reales iguales.
La solución general a la ecuación diferencial dada es
\[ y = A e^{k x} + B x e^{k x} = A e^{- x} + B x e^{- x} \]
donde \( A \) y \( B \) son constantes.
Como ejercicio, compruebe que la solución obtenida anteriormente satisface la ecuación diferencial dada.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial de segundo orden dada por
Solución al Ejemplo 2
La ecuación auxiliar está dada por
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \]
La ecuación cuadrática anterior tiene dos soluciones reales iguales
\( k = 2 \)
La solución general está dada por
\[ y = A e^{2 x} + B x e^{2 x} \]
donde \( A \) y \( B \) son constantes y se evalúan utilizando las condiciones iniciales. \( y(0) = 4 \) da
\[ y(0) = A e^0 + 0 = A = 4 \]
\( y'(0) = 0 \)
da
\[ y'(0) = 2 A e^0 + B ( e^0 + 2 (0) e^0) = 2A + B = 0 \]
Resuelva el sistema de ecuaciones \( A = 4 \) y \( 2 A + B = 0 \) para obtener
\( A = 4 \) y \( B = -8 \)
La solución se puede escribir como
\[ y = 4 e^{2 x} - 8 x e^{2 x} \]
