La forma general de la ecuación diferencial lineal de segundo orden diferencial es la siguiente
\( \)\( \)\( \)\( \)
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x) y = R(x) \]
Si \( R(x) \) no es igual a cero, la ecuación anterior se dice que es no homogénea.
Si \( R(x) = 0 \), la ecuación anterior se convierte en
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x) y = 0 \]
y se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea.
Si \( y_1(x) \) y \( y_2(x) \) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x) y = 0 \), entonces la solución general de la ecuación anterior puede escribirse como
\[ y(x) = A y_1(x) + B y_2(x) \]
donde A y B son constantes.
NOTA: Las funciones \( y_1(x) \) y \( y_2(x) \) son linealmente independientes si una no es un múltiplo de la otra.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes tienen la forma
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} + b \dfrac{dy}{dx} + c y = 0 \qquad (I)\]
donde b y c son constantes.
Debido a la presencia de las primeras y segundas derivadas en la ecuación anterior, las soluciones de la forma \( y = e^{kx} \) son apropiadas para la ecuación anterior.
Si \( y = e^{kx} \), entonces \( \dfrac{dy}{dx} = k e^{kx} \) y \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} = k^2 e^{kx} \).
Sustituya \( y \), \( dy/dx \) y \( d^2 y / dx^2 \) en la ecuación diferencial (I) para obtener la ecuación
\[ \displaystyle k^2 e^{kx} + b k e^{kx} + c e^{kx} = 0 \]
Factorice \( e^{kx} \)
\[ e^{kx} (k^2 + b k + c ) = 0 \]
y como \( e^{kx} \) no puede ser cero, se obtiene
\[ k^2 + b k + c = 0 \]
La ecuación anterior en \( k \) se llama ecuación auxiliar para la ecuación homogénea dada. Las soluciones \( k_1 \) y \( k_2 \) de la ecuación auxiliar, que es una ecuación cuadrática en k, están dadas por
\( k_1 = \dfrac{ - b + \sqrt{D} } { 2 } \) y \( k_2 = \dfrac{ - b - \sqrt{D} } { 2 } \)
donde \( D = b^2 - 4c \).
Dado que D puede ser negativo, positivo o igual a cero, las soluciones \( k_1 \) y \( k_2 \) pueden ser reales y distintas cuando \( D > 0 \), reales e iguales cuando \( D = 0 \) y conjugadas complejas cuando \( D \lt 0 \). Todos estos casos se discutirán en las siguientes páginas:
Resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden - parte 1
Resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden - parte 2
Resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden - parte 3
