Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden cuya ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas conjugadas distintas. Se incluyen ejemplos paso a paso y ejercicios para practicar.
Considere una ecuación diferencial de segundo orden:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]
Su ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]
Si el discriminante \( b^2 - 4c < 0 \), la ecuación cuadrática tiene dos raíces complejas conjugadas:
\[ k_1 = r + t i, \quad k_2 = r - t i \]
La solución general de la ecuación diferencial es:
\[ y(x) = e^{r x} \left( A \cos(t x) + B \sin(t x) \right) \] donde \( A \) y \( B \) son constantes arbitrarias.
Resuelva la ecuación diferencial:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
Solución:
La ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]
Al resolverla se obtienen dos raíces complejas conjugadas:
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]
Por lo tanto, \( r = -\frac{1}{2} \) y \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \). La solución general es:
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]
Resuelva la ecuación diferencial con condiciones iniciales \( y(0)=1, y'(0)=0 \):
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]
Solución:
Ecuación auxiliar:
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]
Raíces complejas:
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]
Solución general:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]
Aplicamos las condiciones iniciales:
\( y(0) = 1 \Rightarrow B = 1 \)
\( y'(0) = 0 \Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2} B + \frac{3}{2} A = 0 \Rightarrow A = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Solución final:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
Respuestas: