Un tutorial sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con la ecuación auxiliar que tiene 2 soluciones complejas conjugadas distintas. Se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
La ecuación auxiliar de una ecuación diferencial de segundo orden
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} + b \dfrac{dy}{dx} + c y = 0 \]
está dada por
\[ k^2 + b k + c = 0 \]
Si \( b^2 - 4c \) es menor que cero, la ecuación cuadrática anterior tiene dos soluciones complejas conjugadas de la forma
\[ k_1 = r + t i \] y \[ k_2 = r - t i \], donde \( i \) es la unidad imaginaria.
En tal caso, se puede mostrar que la solución general a la ecuación diferencial de segundo orden se puede escribir de la siguiente manera
\[ y = e^{r x} \left( A \cos x t + B \sin x t \right) \] donde \( A \) y \( B \) son constantes.
Solución al Ejemplo 1
La ecuación auxiliar está dada por
\( k^2 + k + 2 = 0 \)
Resolver para \( k \) para obtener 2 soluciones complejas conjugadas
\[ k_1 = -\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{7}}{2} \]
y \[ k_2 = -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{7}}{2} \],
\( r = -\dfrac{1}{2} \) (parte real)
y \( t = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \) (parte imaginaria)
La solución general a la ecuación diferencial dada es
\[ y = e^{- x / 2} \left( A \cos ((\sqrt{7} /2) x) + B \sin ((\dfrac{\sqrt{7}}{2}) x) \right) \]
donde \( A \) y \( B \) son constantes.
Solución al Ejemplo 2
La ecuación auxiliar está dada por
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]
Resolver la ecuación cuadrática para obtener
\[ k_1 = - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2} i \] y \[ k_2 = - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2} i \]
La solución general a la ecuación diferencial dada es
\[ y = e^{-\dfrac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \sin (\dfrac{3}{2})x + B \cos (\dfrac{3}{2})x \right) \]
La
condición inicial \( y(0) = 1 \) da
\[ y(0) = e^0 \left( A \sin 0 + B \cos (0) \right) = 1 \] lo que da \( B = 1 \)
\( y'(0) = 0 \) da
\[ y'(0) = -(\dfrac{\sqrt{3}}{2})e^0 \left( A \sin 0 + B \cos 0 \right) + e^0 \left( (\dfrac{3}{2}) A \cos 0 - (\dfrac{3}{2}) B \sin 0 \right) \]
Resolver el sistema de ecuaciones \( B = 1 \) y \(-(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) B + (\dfrac{3}{2}) A = 0 \) para obtener
\( A = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \) y \( B = 1 \)
La solución se puede escribir como
\[ y = e^{- \dfrac{\sqrt{3}}{2} x} \left( (\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sin (\dfrac{3}{2}) x + \cos (\dfrac{3}{2}) x \right) \]
