Se presentan los pasos para demostrar la regla del producto de la derivada junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.
La derivada \( f'(x) \) de la función \( f(x) \) se define como
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]
Sea la función \( f(x) \) dada por el producto de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \) escrito como
\[ \quad f(x) = u(x) v(x) \]
Usando la definición de la derivada en \( (1) \), la derivada de \( f(x) = u(x) v(x) \) está dada por
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x)}{h} \qquad (2) \)
Restar y sumar la misma cantidad al denominador de \( (2) \) anterior no lo cambia.
Reste y sume \( u(x) v(x+h) \) en el numerador de \( (2) \) anterior y escriba
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) \color{red}{- u(x) v(x+h)} - u(x) v(x) \color{red}{+ u(x) v(x+h)} }{h} \qquad (3) \)
Divida \( (3) \) y reescríbalo de la siguiente manera
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (4) \)
De las propiedades de los límites , el límite de una suma es igual a la suma de los límites, por lo tanto
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \left ( \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (5) \)
Use el factor común para reescribir lo anterior como
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (6) \)
De las propiedades de los límites , el límite de un producto es igual al producto de los límites, por lo tanto lo anterior se puede escribir como
\( \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (7) \)
Evalúe los límites individuales en \( (7) \)
\( \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; v(x+h) = v(x) \)
\( \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
\( \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} = u'(x) \) , según la
definición de la derivada dada en \( (1) \).
\( \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} = v'(x) \) , según la definición de la derivada dada en \( (1) \).
Sustituya los límites individuales arriba en \( (7) \) para obtener
\( \qquad \displaystyle f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \)
Por lo tanto, la regla de la derivada de un producto está dada por
\[ (u v)' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \qquad (I) \]
Encuentre las derivadas de
a) \( \quad f(x) = x \; \ln(x) \) b) \( \quad g(x) = \sin(x) e^x \)
Solución
a)
Sea \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \) y escriba \( f(x) \) como el producto de \( u \) y \( v \) de la siguiente manera
\( \quad f(x) = u(x) \; v(x) \)
Escriba que
\( \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' \)
Use la regla del producto en \( (I) \)
\( \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \quad (8) \)
Calcule las derivadas \( u' \) y \( v' \)
\( \quad u'(x) = 1 \) y \( v' = \dfrac{1}{x} \)
Sustituya \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (8) \) anteriormente para obtener
\( \quad f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} \)
Simplifique para obtener la respuesta final como
\[ \quad f'(x) = \ln x + 1 \]
b)
Sea \( w(x) = \sin(x) \) y \( z(x) = e^x \) y escriba \( g(x) \) como el producto de \( w \) y \( z \) de la siguiente manera
\( \quad g(x) = w(x) \; z(x) \)
Escriba que
\( \quad g'(x) = ( w(x) \; z(x) )' \)
Use la regla del producto en \( (I) \)
\( \quad g'(x) = (w(x) \; z(x))' = w'(x) z(x) + w(x) z'(x) \quad (9) \)
Calcule las derivadas \( w' \) y \( z' \)
\( \quad w'(x) = \cos(x) \) y \( z'(x) = e^x \)
Sustituya \( w, w', z, z' \) por sus expresiones en \( (9) \) anteriormente para obtener
\( \quad g'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x \)
Factorice \( e^x \) para obtener la respuesta final como
\[ \quad g'(x) = \left( \cos(x) + \sin(x) \right) \; e^x \]
Calcule la derivada de \( h(x) = (2x+3) \cos (x) \ln x \)
Solución
La función \( h(x) \) está dada por el producto de tres funciones. Sea \( u = 2x+3 \), \( v = \cos(x) \) y \( w = \ln x \) y escriba \( h(x) \) como
\( \quad h(x) = u(x) v(x) w(x) \)
Use la regla del producto en \( I \) para escribir
\( \quad h'(x) = u(x) (v(x) w(x))' + u'(x) (v(x) w(x)) \)
Use la regla del producto en \( (I) m\) una vez más para el término \( (v(x) w(x))' \) y escriba
\( \quad h'(x) = u(x) (v'(x) w(x) + v(x) w'(x) ) + u'(x) (v(x) w(x)) \)
Expanda y escriba una forma que sea fácil de retener
\( \quad h'(x) = \color{red}{u'(x)} v(x) w(x) + u(x) \color{red}{v'(x)} w(x) + u(x) v(x) \color{red}{w'(x)} \quad (10) \)
Evalúe las derivadas de \( u, v , w \)
\( u'(x) = 2 \) , \( v'(x) = - \sin(x) \) , \( w' = \dfrac{1}{x} \)
Sustituya \( u, u', v, v', w, w') \) por sus expresiones en \( (3) \) anteriormente para obtener
\[ \quad h'(x) = 2 \cos(x) \ln x - (2x+3) \sin(x) \ln x + \dfrac{(2x+3) \cos(x)}{x} \]
Encuentre las derivadas de las
funciones
