Regla del Cociente de la Derivada con Ejemplos

Se presentan los pasos para demostrar la regla del cociente de la derivada a partir de la regla del producto de la derivada junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.

Derivada del Cociente de dos Funciones

Sea la función $f(x)$ dada por el cociente de dos funciones $u(x)$ y $v(x)$ escrito como
$\quad f(x) = \dfrac{u(x)}{ v(x)} \qquad (1)$

Multiplique ambos lados de la ecuación anterior por $v(x)$ y simplifique para obtener
$\quad f(x) v(x) = u(x)$

Tome la derivada de ambos lados de la ecuación anterior
$\quad ( f(x) v(x))' = u'(x)$

Aplique la regla del producto de la derivada al lado izquierdo
$\quad f'(x) v(x) + f(x) v'(x) = u'(x)$

Resuelva lo anterior para $f'(x)$
$\quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - f(x) v'(x) }{ v(x) }$

Sustituya $f(x)$ por $\dfrac{u(x)}{ v(x)}$ como se muestra en $(1)$ arriba

$\quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - \dfrac{u(x)}{ v(x)} v'(x) }{ v(x) }$

Reescriba la expresión en el numerador con un denominador común y simplifique para reescribir $f'(x)$ como

$\quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 }$

Finalmente, la regla del cociente de la derivada
$$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (I)$$

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentre las derivadas de
a) $\quad f(x) = \dfrac{x}{\ln x}$       b) $\quad g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Solución
a)
Sea $u(x) = x$ y $v(x) = \ln x$ y escriba $f(x)$ como el cociente de $u$ y $v$ de la siguiente manera
$\quad f(x) = \dfrac {u} {v}$

Use la regla del cociente en $(I)$ para escribir la derivada $f'(x)$ como
$\quad f'(x) = \dfrac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{(v(x))^2} \qquad (2)$

Dado $u(x) = x$ y $v(x) = \ln x$, las derivadas $u'$ y $v'$ son
$\quad u' = 1$ y $v' = \dfrac{1}{x}$

Sustituya $u, u', v, v'$ por sus expresiones en $(2)$ arriba para obtener
$\quad f'(x) = \dfrac{ 1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x} }{ \ln^2 x }$

Simplifique para obtener

$\quad f'(x) = \dfrac{ \ln x - 1} { \ln^2 x }$


b)
Sea $w(x) = \sin x$ y $z(x) = \cos x$ y escriba $g(x)$ como el cociente de $w$ y $z$ de la siguiente manera
$\quad f(x) = \dfrac {w} {z}$

Use la regla del cociente en $(I)$ para escribir la derivada $g'(x)$ como
$\quad g'(x) = \dfrac {w'(x) z(x) - w(x) z'(x) }{(z(x))^2} \qquad (3)$

Dado $w(x) = \sin x$ y $z(x) = \cos x$, las derivadas $w'$ y $z'$
$\quad w' = \cos x$ y $z' = - \sin x$

Sustituya $w, w', z, z'$ por sus expresiones en $(3)$ arriba para obtener
$\quad g'(x) = \dfrac{ \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) }{ \cos^2 x }$

El numerador de lo anterior es igual a $\cos x \cos x - \sin x (- \sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$, por lo tanto, simplifique para obtener
$\quad g'(x) = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 x }$
Use la identidad $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ para escribir la respuesta final como
$$g'(x) = \sec^2 x$$

Ejemplo 2

Calcule la derivada de $h(x) = \dfrac{x \; \ln x}{\sin x \; e^x}$

Solución
Sea $u(x) = x \; \ln x$ y $v(x) = \sin x \; e^x$ y escriba $h(x)$ como el cociente
$h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$

Use la regla del cociente en $(I)$ para escribir la derivada $h'(x)$ como
$\quad h'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (4)$

Dado $u(x) = x \; \ln x$ que es el producto de dos funciones, la derivada $u'$ se calcula usando la regla del producto de la derivada
$u'(x) = (x)'\ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

$v(x) = \sin x \; e^x$ también es el producto de dos funciones, la derivada $v'$ se calcula usando la regla del producto de la derivada
$v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x (e^x)' = \cos x e^x + \sin x e^x = (\cos x + \sin x) e^x$

Sustituya $u, u', v, v'$ por sus expresiones en $(4)$ arriba para obtener
$\quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) (\sin x \; e^x) - (x \; \ln x )((\cos x + \sin x) e^x) }{ (\sin x \; e^x )^2 }$
lo cual puede ser reescrito como
$$\quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) \sin x - x \; \ln x \; (\cos x + \sin x) }{ \sin^2 x \; e^{x} }$$

Ejercicios

Encuentre las derivadas de las funciones

1. $\quad f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x}$
   
   
2. $\quad g(x) = \dfrac{-2x+4}{e^x}$
   
   
3. $\quad h(x) = \dfrac{ 2x \; e^x}{ x \sin x}$

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

1. $\quad f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^ x)}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x$
   
   
2. $\quad g'(x) = \dfrac{-2 \; e^x - (-2x+4) \; e^x}{ (e^x)^2} = -\dfrac{2\left(-x+3\right)}{e^x}$
   
   
3. $\quad h(x) = \dfrac{ (2(1+x)\; e^x) (x \sin x) - (2x \; e^x) ( \sin x + x \; \cos x)}{ (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = \dfrac{ 2 x \sin x \; e^x + 2 x^2 \sin x \; e^x - 2 x \sin x \; e^x - 2 x^2 \cos x \; e^x} { (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = 2\left(\csc \left(x\right)-\cot \left(x\right)\csc \left(x\right)\right) e^x$

Más Referencias y Enlaces

1. Regla del Producto de la Derivada
2. Definición de Derivada
3. Propiedades de los Límites de Funciones