Regla del Cociente de Derivadas con Ejemplos

A continuación se presentan los pasos para demostrar la regla del cociente de derivación a partir de la regla del producto de derivadas, junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.

Derivada del Cociente de Dos Funciones

Sea la función \( f(x) \) dada por el cociente de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), escrita como \[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \] Multiplica ambos lados de la ecuación anterior por \( v(x) \) y simplifica para obtener \[ f(x) v(x) = u(x) \] Toma la derivada de ambos lados de la ecuación anterior \[ ( f(x) v(x))' = u'(x) \] Aplica la regla del producto de derivadas al lado izquierdo \[ \quad f'(x) v(x) + f(x) v'(x) = u'(x) \] Resuelve la ecuación anterior para \( f'(x) \) \[ \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - f(x) v'(x) }{ v(x) } \] Sustituye \( f(x) \) por \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \) como se indica en \( (1) \) arriba \[ \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)} v'(x) }{ v(x) } \] Reescribe la expresión en el numerador con un denominador común y simplifica para reescribir \( f'(x) \) como \[ f'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \] Finalmente, la regla del cociente de derivación \[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (I) \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra las derivadas de:
a) \( \quad f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( \quad g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Solución
a)
Sean \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \). Escribe \( f(x) \) como el cociente de \( u \) y \( v \):
\[ f(x) = \dfrac {u} {v} \] Usa la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( f'(x) \) como \[ f'(x) = \dfrac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{(v(x))^2} \qquad (2) \] Dado que \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \), las derivadas \( u' \) y \( v' \) son \[ u' = 1 \quad \text{y} \quad v' = \dfrac{1}{x} \] Sustituye \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (2) \): \[ \quad f'(x) = \dfrac{ 1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x} }{ \ln^2 x } \] Simplifica para obtener \[ \quad f'(x) = \dfrac{ \ln x - 1} { \ln^2 x } \] b)
Sean \( w(x) = \sin x \) y \( z(x) = \cos x \). Escribe \( g(x) \) como el cociente de \( w \) y \( z \): \[ \quad g(x) = \dfrac {w} {z} \] Usa la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( g'(x) \) como \[ g'(x) = \dfrac{w'(x) z(x) - w(x) z'(x) }{(z(x))^2} \qquad (3) \] Dado que \( w(x) = \sin x \) y \( z(x) = \cos x \), las derivadas \( w' \) y \( z' \) son \[ w' = \cos x \quad \text{y} \quad z' = - \sin x \] Sustituye \( w, w', z, z' \) por sus expresiones en \( (3) \): \[ g'(x) = \dfrac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x (- \sin x) }{ \cos^2 x } \] El numerador de la expresión anterior es igual a \( \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\), por lo tanto simplifica para obtener \[ g'(x) = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 x } \] Usa la identidad \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) para escribir la respuesta final como \[ g'(x) = \sec^2 x \]

Ejemplo 2

Calcula la derivada de \[ h(x) = \dfrac{x \; \ln x}{\sin x \; e^x} \]

Solución
Sean \( u(x) = x \; \ln x \) y \( v(x) = \sin x \; e^x \). Escribe \( h(x) \) como el cociente \[ h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \] Usa la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( h'(x) \) como \[ \quad h'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (4) \] Dado que \( u(x) = x \; \ln x \), que es el producto de dos funciones, la derivada \( u' \) se calcula usando la regla del producto de derivadas \[ u'(x) = (x)'\ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \] \( v(x) = \sin x \; e^x \) es también el producto de dos funciones, la derivada \( v' \) se calcula usando la regla del producto de derivadas \[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x (e^x)' = \cos x \; e^x + \sin x \; e^x = (\cos x + \sin x) e^x \] Sustituye \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (4) \): \[ \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) (\sin x \; e^x) - (x \; \ln x )((\cos x + \sin x) e^x) }{ (\sin x \; e^x )^2 } \] Que puede reescribirse como \[ \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) \sin x - x \; \ln x \; (\cos x + \sin x) }{ \sin^2 x \; e^{x} } \]

Ejercicios

Encuentra las derivadas de las funciones:

\( \quad f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
\( \quad g(x) = \dfrac{-2x+4}{e^x} \)
\( \quad h(x) = \dfrac{ 2x \; e^x}{ x \sin x} \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

\( \quad f'(x) = \dfrac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x \)
\( \quad g'(x) = \dfrac{-2 \; e^x - (-2x+4) \; e^x}{ (e^x)^2} = -\dfrac{2\left(-x+3\right)}{e^x} \)
\( \quad h'(x) = \dfrac{ (2(1+x)\; e^x) (x \sin x) - (2x \; e^x) ( \sin x + x \; \cos x)}{ (x \; \sin x)^2} \)
\( \qquad \qquad = \dfrac{ 2 x \sin x \; e^x + 2 x^2 \sin x \; e^x - 2 x \sin x \; e^x - 2 x^2 \cos x \; e^x} { (x \; \sin x)^2} \)
\( \qquad \qquad = 2\left(\csc \left(x\right)-\cot \left(x\right)\csc \left(x\right)\right) e^x \)