Se presentan los pasos para demostrar la regla del cociente de la diferenciación a partir de la regla del producto de la diferenciación junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.
Derivada del cociente de dos funciones (Demostración)
Sea la función \( f(x) \) dada por el cociente de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), escrita como:
\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]Multiplica ambos lados de la expresión anterior por \( v(x) \) y simplifica:
\[ f(x)v(x) = u(x) \]Toma la derivada de ambos lados con respecto a \( x \):
\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]Aplica la regla del producto de la diferenciación al lado izquierdo:
\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]Despeja \( f'(x) \) de la ecuación:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \]Sustituye \( f(x) \) por \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \) como se indica en (1):
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]Reescribe el numerador con un denominador común y simplifica:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra las derivadas de:
a) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Solución al Ejemplo 1
a) Sea \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \). Escribe \( f(x) = \dfrac{u}{v} \).
Utilizando la regla del cociente (I):
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]Dado que \( u'(x) = 1 \) y \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \):
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]b) Sea \( w(x) = \sin x \) y \( z(x) = \cos x \). Escribe \( g(x) = \dfrac{w}{z} \).
Utilizando la regla del cociente (I):
\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]Dado que \( w'(x) = \cos x \) y \( z'(x) = -\sin x \):
\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]Utilizando la identidad \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):
\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]Ejemplo 2
Calcula la derivada de:
\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]Solución al Ejemplo 2
Sea \( u(x) = x \ln x \) y \( v(x) = \sin x \, e^x \). Escribe \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \).
Utilizando la regla del cociente (I):
\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]Calcula \( u'(x) \) utilizando la regla del producto:
\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]Calcula \( v'(x) \) utilizando la regla del producto:
\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Sustituye en (4):
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]Saca factor común y cancela \( e^x \):
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]Ejercicios
Encuentra las derivadas de las funciones:
- \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
- \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
- \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
- \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)