Regla del Cociente de la Derivada con Ejemplos

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Se presentan los pasos para demostrar la regla del cociente de la derivada a partir de la regla del producto de la derivada junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.

Derivada del Cociente de dos Funciones

Sea la función \( f(x) \) dada por el cociente de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \) escrito como
\( \quad f(x) = \dfrac{u(x)}{ v(x)} \qquad (1) \)

Multiplique ambos lados de la ecuación anterior por \( v(x) \) y simplifique para obtener
\( \quad f(x) v(x) = u(x) \)

Tome la derivada de ambos lados de la ecuación anterior
\( \quad ( f(x) v(x))' = u'(x) \)

Aplique la regla del producto de la derivada al lado izquierdo
\( \quad f'(x) v(x) + f(x) v'(x) = u'(x) \)

Resuelva lo anterior para \( f'(x) \)
\( \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - f(x) v'(x) }{ v(x) }\)

Sustituya \( f(x) \) por \( \dfrac{u(x)}{ v(x)} \) como se muestra en \( (1) \) arriba

\( \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - \dfrac{u(x)}{ v(x)} v'(x) }{ v(x) }\)

Reescriba la expresión en el numerador con un denominador común y simplifique para reescribir \( f'(x) \) como

\( \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 }\)

Finalmente, la regla del cociente de la derivada
\[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (I) \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentre las derivadas de
a) \( \quad f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( \quad g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Solución
a)
Sea \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \) y escriba \( f(x) \) como el cociente de \( u \) y \( v \) de la siguiente manera
\( \quad f(x) = \dfrac {u} {v} \)

Use la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( f'(x) \) como
\( \quad f'(x) = \dfrac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{(v(x))^2} \qquad (2) \)

Dado \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \), las derivadas \( u' \) y \( v' \) son
\( \quad u' = 1 \) y \( v' = \dfrac{1}{x} \)

Sustituya \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (2) \) arriba para obtener
\( \quad f'(x) = \dfrac{ 1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x} }{ \ln^2 x } \)

Simplifique para obtener

\( \quad f'(x) = \dfrac{ \ln x - 1} { \ln^2 x } \)

b)
Sea \( w(x) = \sin x \) y \( z(x) = \cos x \) y escriba \( g(x) \) como el cociente de \( w \) y \( z \) de la siguiente manera
\( \quad f(x) = \dfrac {w} {z} \)

Use la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( g'(x) \) como
\( \quad g'(x) = \dfrac {w'(x) z(x) - w(x) z'(x) }{(z(x))^2} \qquad (3) \)

Dado \( w(x) = \sin x \) y \( z(x) = \cos x \), las derivadas \( w' \) y \( z' \)
\( \quad w' = \cos x \) y \( z' = - \sin x \)

Sustituya \( w, w', z, z' \) por sus expresiones en \( (3) \) arriba para obtener
\( \quad g'(x) = \dfrac{ \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) }{ \cos^2 x } \)

El numerador de lo anterior es igual a \( \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\), por lo tanto, simplifique para obtener
\( \quad g'(x) = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 x } \)
Use la identidad \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) para escribir la respuesta final como
\[ g'(x) = \sec^2 x \]

Ejemplo 2

Calcule la derivada de \( h(x) = \dfrac{x \; \ln x}{\sin x \; e^x} \)

Solución
Sea \( u(x) = x \; \ln x \) y \( v(x) = \sin x \; e^x \) y escriba \( h(x) \) como el cociente
\( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \)

Use la regla del cociente en \( (I) \) para escribir la derivada \( h'(x) \) como
\( \quad h'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (4) \)

Dado \( u(x) = x \; \ln x \) que es el producto de dos funciones, la derivada \( u' \) se calcula usando la regla del producto de la derivada
\( u'(x) = (x)'\ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \)

\( v(x) = \sin x \; e^x \) también es el producto de dos funciones, la derivada \( v' \) se calcula usando la regla del producto de la derivada
\( v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x (e^x)' = \cos x e^x + \sin x e^x = (\cos x + \sin x) e^x \)

Sustituya \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (4) \) arriba para obtener
\( \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) (\sin x \; e^x) - (x \; \ln x )((\cos x + \sin x) e^x) }{ (\sin x \; e^x )^2 } \)
lo cual puede ser reescrito como
\[ \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) \sin x - x \; \ln x \; (\cos x + \sin x) }{ \sin^2 x \; e^{x} } \]

Ejercicios

Encuentre las derivadas de las funciones

\( \quad f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
\( \quad g(x) = \dfrac{-2x+4}{e^x} \)
\( \quad h(x) = \dfrac{ 2x \; e^x}{ x \sin x} \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

\( \quad f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^ x)}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x \)
\( \quad g'(x) = \dfrac{-2 \; e^x - (-2x+4) \; e^x}{ (e^x)^2} = -\dfrac{2\left(-x+3\right)}{e^x} \)
\( \quad h(x) = \dfrac{ (2(1+x)\; e^x) (x \sin x) - (2x \; e^x) ( \sin x + x \; \cos x)}{ (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = \dfrac{ 2 x \sin x \; e^x + 2 x^2 \sin x \; e^x - 2 x \sin x \; e^x - 2 x^2 \cos x \; e^x} { (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = 2\left(\csc \left(x\right)-\cot \left(x\right)\csc \left(x\right)\right) e^x \)