Se presentan preguntas sobre la diferenciabilidad de funciones con énfasis en funciones por partes junto con sus respuestas.
Significado Gráfico de la no diferenciabilidad.
¿Qué funciones no son diferenciables?
Sea \( f \) una función cuyo gráfico es \( G \). A partir de la definición, el valor de la derivada de una función \( f \) en un
cierto valor de \( x \) es igual a la pendiente de la tangente al gráfico \( G \). Podemos decir que \( f \) no es diferenciable para cualquier valor de \( x \) donde una tangente no puede 'existir' o la tangente existe pero es vertical (una línea vertical tiene pendiente indefinida, por lo tanto, derivada indefinida).
A continuación se presentan gráficos de funciones que no son diferenciables en \( x = 0 \) por diversas razones.
La función \( f \) a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay tangente al gráfico en \( x = 0 \).(¡intenta dibujar una tangente en \( x=0 \)!)
La función \( g \) a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay tangente al gráfico en \( x = 0 \).(¡intenta dibujar una tangente en \( x=0 \)!)
La función \( h \) a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque hay un salto en el valor de la función y además la función no está definida, por lo tanto, no es continua en \( x = 0 \).
La función \( j \) a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque aumenta indefinidamente (sin límite) a ambos lados de \( x = 0 \) y también desde su fórmula no está definida en \( x = 0 \) y, por lo tanto, no es continua en \( x=0 \) .
La función \( k \) a continuación no es diferenciable porque la tangente en \( x = 0 \) es vertical y por lo tanto su pendiente, que es el valor de la derivada en \( x =0 \), es indefinida.
Teorema
Teorema: Si una función \( f \) es diferenciable en \( x = a \), entonces es continua en \( x = a \)
Contra positivo del teorema anterior: Si la función \( f \) no es continua en \( x = a \), entonces no es diferenciable en \( x = a \).
Errores comunes a evitar: Si \( f \) es continua en \( x = a \), entonces \( f \) es diferenciable en \( x = a \).
NOTA: Aunque las funciones \( f \), \( g \) y \( k \) (cuyos gráficos se muestran arriba) son continuas en todas partes, no son diferenciables en \( x = 0 \).
Ejemplos con Soluciones
Demostraciones Analíticas de no diferenciabilidad
Ejemplo 1: Demuestra analíticamente que la función \( f \) definida a continuación es no diferenciable en \( x = 0 \).
\( f(x) = \begin{cases}
x^2 & x > 0 \\
- x & x < 0 \\
0 & x = 0
\end{cases}
\)
Solución al Ejemplo 1
Una forma de responder a la pregunta anterior es calcular la derivada en \( x = 0 \). Comenzamos encontrando el límite del cociente difer
encial. Dado que la función \( f \) está definida utilizando diferentes fórmulas, necesitamos encontrar la derivada en \( x = 0 \) usando los límites izquierdo y derecho.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
\)
A la izquierda de \( x = 0 \) (\( x \lt 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^-} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ -h - 0}{h} = -1 \)
A la derecha de \( x = 0 \) (\( x > 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0
\)
Los límites a la izquierda y a la derecha de \( x = 0 \) no son iguales y, por lo tanto, \( f '(0) \) es indefinido y por lo tanto la función \( f \) no es diferenciable en \( x = 0 \).
El gráfico de la función \( f \) resuelto en este ejemplo se muestra a continuación y es fácil notar que no se puede dibujar ninguna tangente en \( x = 0 \) y, por lo tanto, \( f \) no es diferenciable en \( x = 0 \).
