Demostración de la Derivada de cot(x)

La derivada de \( \cot(x) \) se puede calcular usando las derivadas de \( \sin x \) y \( \cos x \) con la regla del cociente. También se presentan derivadas de funciones cotangentes compuestas con ejemplos resueltos.

Demostración de la Derivada de cot(x)

Usando la identidad trigonométrica:

y la regla del cociente, tenemos:

Sustituimos \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) y \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \):

\[ \boxed{\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x} \]

Gráfica de cot(x) y su Derivada

Las gráficas de \( \cot x \) y su derivada se muestran a continuación. Dado que \( \cot x \) es decreciente, su derivada es negativa en todas partes.

Derivada de la Función Compuesta cot(u(x))

Usando la regla de la cadena:

\[ \boxed{\frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x)} \]

Ejemplos

Encuentra las derivadas:

1. \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
2. \( g(x) = \cot(e^x) \)
3. \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)

Soluciones

1. \[ u = x^3 - 2x + 2, \quad u' = 3x^2 - 2 \] \[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2-2)\csc^2(x^3-2x+2) \]
2. \[ u = e^x, \quad u' = e^x \] \[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \]
3. \[ u = \frac{-2}{x^3+2}, \quad u' = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]

Más Referencias