Prueba de la Derivada de cot x

La derivada de \( \cot (x)\) se calcula usando la derivada de \( \sin x \) y \( \cos x \) y la regla del cociente de diferenciación. También se presentan ejemplos de derivadas de funciones compuestas de cotangente junto con sus soluciones.

Prueba de la Derivada de cot x

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \cot x \), \( \cos x \) y \( \sin x \) está dada por \[ \cot x = \dfrac { \cos x }{ \sin x } \] Ahora usamos la regla del cociente de diferenciación para encontrar la derivada de \( \cot x \)
\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \cot x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{\cos x }{\sin x}) = \dfrac{{ (\dfrac {d}{dx}\cos x) }{ \sin x } - \cos x (\dfrac {d}{dx} \sin x) }{\sin^2 x}} \)

Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) y \( \cos x \) dadas por \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y sustituimos para obtener

\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \cot x = \dfrac{{ -\sin x \sin x } - \cos x \cos x }{\sin^2 x}} \)

Simplificamos

\( \displaystyle {= - \dfrac{ \sin^2 x + \cos^2 x } {\sin^2 x} = - \dfrac{ 1 }{\sin^2 x} = - \csc^2 x }\)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \cot x = - \csc^2 x} \]

Gráfico de cot x y su Derivada

Se muestran los gráficos de \( \cot(x) \) y su derivada a continuación. La derivada de cot(x) es negativa en todas partes porque cot(x) es una función decreciente.

Gráfico de cot x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta cot (u(x))

Ahora consideramos una función compuesta que es la función cotangente de otra función u. Usamos la regla de la cadena de diferenciación para escribir

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \cot (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \cot u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplificamos

\( = - \csc^2 u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusión

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \cot (u(x)) = - \csc^2 u \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo
Encuentra la derivada de las funciones compuestas de cotangente

  1. \( f(x) = \cot (x^3-2x+2) \)
  2. \( g(x) = \cot (e^x) \)
  3. \( h(x) = \cot (\dfrac{-2}{x^3+2}) \)

Solución al Ejemplo Anterior


  1. Sea \( u(x) = x^3-2x+2 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^3-2x+2) = 3x^2-2 \) y aplicamos la regla para la función compuesta cot dada anteriormente.

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = -\csc^2 u \dfrac{d}{dx} u = -\csc^2 (x^3-2x+2) \times (3x^2-2) \)
    \( = -(3x^2-2) \csc^2 (x^3-2x+2) \)


  2. Sea \( u(x) = e^x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} e^x = e^x \) y aplicamos la regla de la función compuesta cot obtenida anteriormente.

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = - \csc^2 u \dfrac{d}{dx} u \)
    \( = - \csc^2 (e^x) \times e^x = - e^x \csc^2 (e^x) \)


  3. Sea \( u(x) = \dfrac{-2}{x^3+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{6x^2}{\left(x^3+2\right)^2} \) y aplicamos la regla de la función compuesta cot obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = - \csc^2 u \dfrac{d}{dx} u = - \csc^2 (\dfrac{-2}{x^3+2}) \times \dfrac{6x^2}{\left(x^3+2\right)^2} \)
    \( = - \dfrac{6x^2}{\left(x^3+2\right)^2} \csc^2 (\dfrac{-2}{x^3+2}) = - \dfrac{6x^2}{\left(x^3+2\right)^2} \csc^2 (\dfrac{2}{x^3+2}) \)


Más Referencias y Enlaces

Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.