Prueba de la Derivada de ln(x)

Se presenta la prueba de la derivada de la función logarítmica natural \( \ln(x) \) utilizando la definición de la derivada. También se incluye la derivada de una función compuesta de la forma \( \ln(u(x)) \) y se presentan varios ejemplos con sus soluciones.

Prueba de la Derivada de \( \ln(x) \) Utilizando la Definición de la Derivada

La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por el límite \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Sea \( f(x) = \ln(x) \) y escribimos la derivada de \( \ln(x) \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h)- \ln(x) }{h} \)
Usamos la fórmula \( \ln(a) - \ln(b) = \ln(\dfrac{a}{b}) \) para reescribir la derivada de \( \ln(x) \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(\dfrac{x+h}{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \ln(\dfrac{x+h}{x}) \)
Usamos la regla de potencia de los logaritmos ( \( a \ln y = \ln y^a \) ) para reescribir el límite anterior como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln \left(\dfrac{x+h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} = \lim_{h \to 0} \ln \left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \)
Sea \( y = \dfrac{h}{x} \)
y notamos que
\( \lim_{h \to 0} y = 0\)
Expresamos h en términos de y
\(h = y x \)
Con la sustitución anterior, podemos escribir
\( \lim_{h \to 0} \ln \left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} = \lim_{y \to 0} \ln \left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y x}} \)
Usamos la regla de potencia de los logaritmos ( \( \ln y^a = a \ln y \) ) para reescribir el límite anterior como
\( = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln \left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} \)
Una de las definiciones de la constante de Euler \( e \) es
\( e = \lim_{m \to 0} ( 1 + m) ^{\dfrac{1}{m}} \)
Por lo tanto, el límite que buscamos se da por
\( \lim_{h \to 0} \ln \left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln \left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln e = \dfrac{1}{x} \)
Conclusión: \[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]

Derivada de la Función Compuesta \( y = \ln(u(x)) \)

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones exponenciales naturales compuestas

1. \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
2. \( g(x) = \ln (\sqrt{x^3+1}) \)
3. \( h(x) = \ln ( x^2+2x-5 ) \)

Solución al Ejemplo 1

1. 
   Sea \( u(x) = \left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) = \dfrac{x^2-4x}{\left(x-2\right)^2} \)
   Aplicamos la regla para la función logarítmica natural compuesta encontrada anteriormente
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \dfrac{1}{u} \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \times \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \)
   
   \( = \dfrac{x-2}{x^2} \times \dfrac{x^2-4x}{\left(x-2\right)^2} = \dfrac{(x-2)x(x-4)}{x^2(x-2)^2} \)
   Cancelamos factores comunes del numerador y del denominador
   \( = \dfrac{(x-4)}{x(x-2)}\)
   
   
2. 
   Sea \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sqrt{x^3+1} = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \).
   Aplicamos la regla de diferenciación para la función logarítmica natural compuesta anteriormente
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \dfrac{1}{u} \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \times \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \)
   \( = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)}\)
   
   
3. 
   Sea \( u(x) = x^2+2x-5 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = 2x+2 \)
   Aplicamos la regla de diferenciación para la función logarítmica natural compuesta obtenida anteriormente
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \dfrac{1}{u} \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{x^2+2x-5} \times ( 2x+2) \)
   \( = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \)

Más Referencias y Enlaces