Derivada de sec x

La derivada de \( \sec (x)\) se calcula utilizando la regla del cociente para derivadas.

Prueba de la Derivada de sec x

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \sec x \) y \( \cos x \) es \[ \sec x = \dfrac { 1 }{ \cos x } \] Usamos la regla del cociente para diferenciación para encontrar la derivada de \( \sec x \); por lo tanto
\( \displaystyle { \dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{ 1 }{\cos x}) = \dfrac { (\dfrac {d}{dx}1) { \cos x } - 1 (\dfrac {d}{dx} \cos x) } {\cos^2 x} } \)

La derivada de la constante 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \cos x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituimos para obtener

\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac{ (0 - (-\sin x) )}{\cos^2 x}} \)

Simplificamos

\( \displaystyle {= \dfrac{ \sin x } {\cos^2 x} = \dfrac{ \sin x }{\cos x} \dfrac{ 1 }{\cos x} = \tan x \sec x}\)

conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x} \]

Gráfico de sec x y su Derivada

Se muestran a continuación los gráficos de \( \sec(x) \) y su derivada.

Gráfico de sec x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta sec (u(x))

Ahora consideramos la función compuesta sec de otra función u(x). Usamos la regla de la cadena para la diferenciación para escribir

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \sec u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplificamos

\( = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusión

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = \tan u \; \sec u \; \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones sec compuestas

  1. \( f(x) = \sec (x^2 + x - 1) \)
  2. \( g(x) = \sec (\sin(x)) \)
  3. \( h(x) = \sec (\sqrt{x+2}) \)

Solución del Ejemplo 1


  1. Sea \( u(x) = x^2 + x - 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2 + x - 1) = 2x + 1 \) y aplicamos la regla para la función sec compuesta dada arriba

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) =\tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (x^2 + x - 1) \sec (x^2 + x - 1) \times (2x + 1) \)

    \( = (2x + 1) \; \tan (x^2 + x - 1) \; \sec (x^2 + x - 1) \)


  2. Sea \( u(x) = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \) y aplicamos la regla anterior

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sin x) \sec (\sin x) \times (\cos x) \)

    \( = \cos x \; \tan (\sin x) \; \sec (\sin x) \)


  3. Sea \( u(x) = \sqrt{x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \) y aplicamos la regla obtenida arriba

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sqrt{x+2}) \sec (\sqrt{x+2}) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)

    \( = \dfrac {\tan (\sqrt{x+2}) \; \sec (\sqrt{x+2})} {{2\sqrt{x+2}} } \)


Más Referencias y Enlaces

Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena para la Diferenciación en Cálculo.