Derivada de sec x

La derivada de \( \sec (x)\) se calcula utilizando la regla del cociente de derivadas.

Demostración de la Derivada de sec x

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \sec x \) y \( \cos x \) está dada por \[ \sec x = \dfrac { 1 }{ \cos x } \] Usamos la regla del cociente de diferenciación para encontrar la derivada de \( \sec x \); por lo tanto \[ \dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac {d}{dx} \left(\dfrac{ 1 }{\cos x} \right) = \dfrac { \left(\dfrac {d}{dx}1 \right) { \cos x } - 1 \left(\dfrac {d}{dx} \cos x\right) } {\cos^2 x} \] La derivada de la constante 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \cos x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituimos para obtener \[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac{ (0 - (-\sin x) )}{\cos^2 x}} \] Simplificamos \[ {= \dfrac{ \sin x } {\cos^2 x} = \dfrac{ \sin x }{\cos x} \dfrac{ 1 }{\cos x} = \tan x \sec x} \] Conclusión
\[ \boxed{ {\dfrac {d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x} } \]

Gráfica de sec x y su Derivada

Las gráficas de \( \sec(x) \) y su derivada se muestran a continuación.

Derivada de la Función Compuesta sec (u(x))

Consideramos ahora la función compuesta sec de otra función u(x). Usamos la regla de la cadena de diferenciación para escribir \[ \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \sec u) (\dfrac{d}{dx} u ) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u \] Conclusión \[ \boxed{ \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = \tan u \; \sec u \; \dfrac{d}{dx} u} \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las siguientes funciones sec compuestas:

1. \( f(x) = \sec (x^2 + x - 1) \)
2. \( g(x) = \sec (\sin(x)) \)
3. \( h(x) = \sec (\sqrt{x+2}) \)

Solución al Ejemplo 1

1. 
   Sea \( u(x) = x^2 + x - 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2 + x - 1) = 2x + 1 \). Aplicamos la regla para la función sec compuesta dada anteriormente.
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (x^2 + x - 1) \sec (x^2 + x - 1) \times (2x + 1) \)
   
   \( = (2x + 1) \; \tan (x^2 + x - 1) \; \sec (x^2 + x - 1) \)
   
   
2. 
   Sea \( u(x) = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \). Aplicamos la regla anterior.
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sin x) \sec (\sin x) \times (\cos x) \)
   
   \( = \cos x \; \tan (\sin x) \; \sec (\sin x) \)
   
   
3. 
   Sea \( u(x) = \sqrt{x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \). Aplicamos la regla obtenida anteriormente.
   
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sqrt{x+2}) \sec (\sqrt{x+2}) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)
   
   \( = \dfrac {\tan (\sqrt{x+2}) \; \sec (\sqrt{x+2})} {{2\sqrt{x+2}} } \)
   
   

Más Referencias y Enlaces