Una identidad trigonométrica que relaciona \( \sec x \) y \( \cos x \) es
\[ \sec x = \dfrac { 1 }{ \cos x } \]
Usamos la regla del cociente para diferenciación para encontrar la derivada de \( \sec x \); por lo tanto
\( \displaystyle { \dfrac {d}{dx} \sec x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{ 1 }{\cos x}) = \dfrac { (\dfrac {d}{dx}1) { \cos x } - 1 (\dfrac {d}{dx} \cos x) } {\cos^2 x} } \)
La derivada de la constante 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \cos x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituimos para obtener
\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sec (u(x)) = \tan u \; \sec u \; \dfrac{d}{dx} u \]
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones sec compuestas
\( f(x) = \sec (x^2 + x - 1) \)
\( g(x) = \sec (\sin(x)) \)
\( h(x) = \sec (\sqrt{x+2}) \)
Solución del Ejemplo 1
Sea \( u(x) = x^2 + x - 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2 + x - 1) = 2x + 1 \) y aplicamos la regla para la función sec compuesta dada arriba
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) =\tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (x^2 + x - 1) \sec (x^2 + x - 1) \times (2x + 1) \)
\( = (2x + 1) \; \tan (x^2 + x - 1) \; \sec (x^2 + x - 1) \)
Sea \( u(x) = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \) y aplicamos la regla anterior
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sin x) \sec (\sin x) \times (\cos x) \)
\( = \cos x \; \tan (\sin x) \; \sec (\sin x) \)
Sea \( u(x) = \sqrt{x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \) y aplicamos la regla obtenida arriba
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \tan u \sec u \dfrac{d}{dx} u = \tan (\sqrt{x+2}) \sec (\sqrt{x+2}) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)