Encuentra los límites de varias funciones usando diferentes métodos. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Más ejercicios con respuestas se encuentran al final de esta página.
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x-1|} \]Observa que estamos buscando el límite cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la izquierda (\( x \to 1^- \) significa que \( x \) se aproxima a 1 con valores menores que 1). Por lo tanto:
\[ x \lt 1 \] \[ x - 1 \lt 0 \]Si \( x - 1 \lt 0 \) entonces:
\[ |x - 1| = -(x - 1) \]Simplifica para obtener:
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]La respuesta final es:
\[ \boxed{-4} \]
Evalúa el límite
\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} \]Aunque el límite en cuestión es la razón de dos polinomios, \( x = 5 \) hace que tanto el numerador como el denominador sean iguales a cero. Necesitamos factorizar ambos, numerador y denominador, como se muestra a continuación.
\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]Simplifica para obtener:
\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{(x + 5)}{(x + 6)} = \dfrac{10}{11} \]La respuesta final es:
\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]
Determina el límite
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{|x - 2|} \]Necesitamos observar el límite desde la izquierda de 2 y el límite desde la derecha de 2.
Cuando \( x \) se aproxima a 2 desde la izquierda (\( x \to 2^- \)), \( x - 2 \lt 0 \), por lo tanto:
\[ |x - 2| = -(x - 2) \]Sustituye para obtener el límite desde la izquierda de 2 de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]Factoriza el numerador: \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \)
\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]Cuando \( x \) se aproxima a 2 desde la derecha (\( x \to 2^+ \)), \( x - 2 > 0 \), por lo tanto:
\[ |x - 2| = x - 2 \]Sustituye para obtener el límite desde la derecha de 2 de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]El límite desde la derecha de 2 (8) y el límite desde la izquierda de 2 (-8) no son iguales, por lo tanto, el límite dado NO EXISTE.
Calcula el límite
\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) \]Cuando \( x \) se aproxima a -1 desde la derecha, \( \sqrt[3]{x+1} \) se aproxima a 0 y \( \ln(x+1) \) se aproxima a \( -\infty \), de ahí una forma indeterminada \( 0 \times (-\infty) \).
\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \).
\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]Ahora usamos la Regla de L'Hôpital y encontramos el límite.
\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]Por lo tanto, el límite es 0.
\[ \boxed{0} \]
Encuentra el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) \]A medida que \( x \) se hace más grande, \( x + 1 \) se hace más grande, \( \dfrac{1}{x+1} \) se aproxima a cero, \( e^{1/(x+1)} \) se aproxima a 1, y \( e^{1/(x+1)} - 1 \) se aproxima a 0; de ahí una forma indeterminada: \( \infty \times 0 \).
\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\,\infty \cdot 0 \]Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \):
\[ = \lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]Aplica el teorema de L'Hôpital para encontrar el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\,\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)} {\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)}. \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\,\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -\, e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]Por lo tanto
\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]
Calcula el límite
\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \]Cuando \( x \) se aproxima a 9, tanto el numerador como el denominador se aproximan a 0. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador:
\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]Expande y simplifica:
\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]Ahora encuentra el límite:
\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6}. \]
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} \]El rango de la función coseno es
\[ -1 \le \cos x \le 1 \]Divide todos los términos de la desigualdad anterior por \( x \), para \( x > 0 \):
\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]Ahora, cuando \( x \to +\infty \), tanto \( -\dfrac{1}{x} \) como \( \dfrac{1}{x} \) se aproximan a \( 0 \). Por lo tanto, por el teorema del emparedado, el límite es
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0. \]
Encuentra el límite
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} \]Cuando \( t \) se aproxima a 0, tanto el numerador como el denominador se aproximan a 0 y tenemos la forma indeterminada \( 0 / 0 \).
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]Por lo tanto, se utiliza el teorema de L'Hôpital para calcular el límite anterior de la siguiente manera:
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} \] \[ = \dfrac{0}{1} \] \[ = 0 \]
Calcula el límite
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{16x^2 + 1}} \]Primero factorizamos \( 16x^2 \) dentro de la raíz cuadrada del denominador, la sacamos de la raíz cuadrada y reescribimos el límite como
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]Dado que \( x \) se aproxima a valores positivos grandes (infinito), \( |x| = x \) y \( \dfrac{1}{16x^2} \) se aproxima a \( 0 \). Simplifica y encuentra el límite.
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \] \[ = \dfrac{3}{4} \]
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} \]Cuando \( x \) se aproxima a 2 desde la izquierda, entonces \( x - 2 \) se aproxima a 0 desde la izquierda o \( x - 2 \lt 0 \). El numerador se aproxima a 5 y el denominador se aproxima a 0 desde la izquierda, por lo tanto, el límite está dado por
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]
Calcula el límite
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2 + 2x - 1} \]Factoriza \( x^2 \) en el denominador y simplifica.
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]Cuando \( x \) toma valores grandes (infinito), los términos \( \dfrac{2}{x} \) y \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a 0, por lo tanto, el límite es
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]
Calcula el límite:
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{\sin(t)} \]Multiplica numerador y denominador por \( t \):
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]Reescribe la expresión usando manipulación algebraica:
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]Usa el límite conocido \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). Sea \( u = 3t \), entonces cuando \( t \to 0 \), \( u \to 0 \):
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]Además:
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]Por lo tanto, el límite es:
\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]
Encuentra el límite
\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \]Factoriza \( x^2 \) dentro de la raíz cuadrada
\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2})} - x \right) \]Usa el hecho de que \( \sqrt{x^2} = |x| \):
\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]Dado que \( x \) toma valores positivos grandes (infinito), entonces \( |x| = x \) y tanto \( \dfrac{1}{x} \) como \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a 0. Por lo tanto, tenemos la forma indeterminada \( \infty - \infty \):
\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]Reinicia con el límite dado nuevamente y multiplica su numerador y denominador por el conjugado y simplifica:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]Factoriza \( x \) en el numerador y denominador y simplifica:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]A medida que \( x \) se hace más grande, los términos \( \dfrac{1}{x} \) y \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a cero y el límite es:
\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]
Determina el límite
\[ \lim_{x \to \infty} x \sin \dfrac{1}{x} \]Sea \( z = 1 / x \) de modo que a medida que \( x \) se hace grande, \( z \) se aproxima a 0. Sustituye y calcula el límite de la siguiente manera.
\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]
Calcula los siguientes límites
1) \[\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\]
2) \[\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3 - x}{\sqrt{x^2 + 3x}}\]
3) \[\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{|x - 2|}\]
4) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}\]
5) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{\sin x}\]
6) \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin x}\]
1) \( 3 \)
2) \( 1 \)
3) \( 1 \)
4) \( 1/4 \)
5) \( 0 \)
6) \( 4 \)