Encuentre los límites de varias funciones usando diferentes métodos. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Más ejercicios con respuestas están al final de esta página.
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 1:
Tenga en cuenta que estamos buscando el límite cuando x se acerca a 1 desde la izquierda (x ? 1- significa que x se acerca a 1 en valores menores que 1). Por eso
x < 1
x - 1 < 0
Si x - 1 < 0 entonces
| x - 1 | = - (x - 1)
Sustituto | x - 1 | por - (x - 1), factorizar el numerador para escribir el límite de la siguiente manera
Simplificar para obtener
Ejemplo 2
Evalúa el límite
Solución al ejemplo 2:
Aunque el límite en cuestión es la razón de dos polinomios, x = 5 hace que tanto el numerador como el denominador sean iguales a cero. Necesitamos factorizar tanto el numerador como el denominador como se muestra a continuación.
Simplificar para obtener
Ejemplo 3
Determinar el límite
Solución al ejemplo 3:
Necesitamos mirar el límite por la izquierda de 2 y el límite por la derecha de 2. Cuando x se acerca a 2 por la izquierda x - 2 < 0 por lo tanto
|x - 2| = - (x - 2)
Sustituya para obtener el límite por la izquierda de 2 de la siguiente manera
= - 8
Cuando x tiende a 2 desde la derecha x - 2 > 0 por lo tanto
|x - 2| = x - 2
Sustituye para obtener el límite por la derecha de 2 de la siguiente manera
= 8
El límite por la derecha de 2 y el límite por la izquierda de 2 no son iguales, por lo tanto, el límite dado NO EXISTE.
Ejemplo 4
Calcular el límite
Solución al ejemplo 4:
A medida que x se acerca a -1, la raíz cúbica x + 1 se acerca a 0 y ln(x+1) se acerca a - infinito, por lo tanto, una forma indeterminada de 0 × infinidad
Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada infinito/infinito.
Ahora usamos la Regla de L'hopital y encontramos el límite.
Ejemplo 5
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 5:
A medida que x se hace más grande, x + 1 se hace más grande, 1/(x+1) se acerca a cero, e^(1/(x+1)) se acerca a 1 y e^(1/(x+1)) - 1 se acerca a 0, por lo tanto una forma indeterminada: ∞ × 0
Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada 0/0.
Aplicar regla de L'hopital para encontrar el límite.
= - 1
Ejemplo 6
Calcular el límite
Solución al ejemplo 6:
Cuando x se acerca a 9, tanto el numerador como el denominador se acercan a 0. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador.
Ampliar y simplificar.
y ahora encuentra el límite.
= 1 / 6
Ejemplo 7
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 7:
El rango de la función coseno es.
-1 ? cos x ? 1
Divide todos los términos de la desigualdad anterior por x, para x positivo.
-1 / x ? cos x / x ? 1 / x
Ahora, como x toma valores más grandes sin límite (+infinito), tanto -1/x como 1/x se aproxima a 0. Por lo tanto, por teorema de compresión el límite anterior viene dado por
Ejemplo 8
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 8:
Cuando t se acerca a 0, tanto el numerador como el denominador se acercan a 0 y tenemos la forma indeterminada 0/0. Por lo tanto, la regla de L'hopital se usa para calcular el límite anterior de la siguiente manera
Ejemplo 9
Calcular el límite
Solución al ejemplo 9:
Primero factorizamos 16 x 2 debajo de la raíz cuadrada del denominador y sacamos de la raíz cuadrada y reescribimos el límite como
Dado que x se aproxima a valores positivos grandes (infinito) | x | = x. Simplifica y encuentra el límite.
= 3 / 4
Ejemplo 10
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 10:
Cuando x tiende a 2 desde la izquierda, entonces x - 2 tiende a 0 desde la izquierda o x - 2 < 0. El numerador se acerca a 5 y el denominador se acerca a 0 desde la izquierda, por lo que el límite viene dado por
Ejemplo 11
Calcular el límite
Solución al ejemplo 11:
Factoriza x 2 en el denominador y simplifica.
Como x toma valores grandes (infinito), los términos 2/x tiende a 0 y el término 1/x 2 también tiende a 0, por lo que el límite es
= 3 / 4
Ejemplo 12
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 12:
Factoriza x 2 en el numerador y el denominador y simplifica.
Como x toma valores grandes (infinito), los términos 1/x , 1/x 2 y 3/x 2 se aproximan a 0, por lo que el límite es
= 0 / 2 = 0
Ejemplo 13
Determinar el límite
Solución al ejemplo 13:
Multiplica numerador y denominador por 3t.
Utilice las teoremas y propiedades de los límites para reescribir el límite anterior como el producto de dos límites y una constante.
Ahora calculamos el primer límite haciendo T = 3t y notando que cuando t tiende a 0 también lo hace T. También usamos el hecho de que sen T / T tiende a 1 cuando T tiende a 0. Por lo tanto
El segundo límite se calcula fácilmente de la siguiente manera
El valor final del límite es
Ejemplo 14
Encuentra el límite
Solución al ejemplo 14:
Factoriza x 2 dentro de la raíz cuadrada y usa el hecho de que sqrt(x2) = | x |.
Dado que x toma valores grandes (infinito), entonces | x | = x. De ahí la forma indeterminada
Multiplica numerador y denominador por el conjugado y simplifica.
Factorice x a partir del numerador y el denominador y simplifique
A medida que x crece, los términos 1/x y 1/x2 se aproximan a cero y el límite es
= 1 / 2
Ejemplo 15
Determinar el límite
Solución al ejemplo 15:
Sea z = 1 / x de modo que a medida que x se hace grande, x se aproxima a 0. Sustituya y calcule el límite de la siguiente manera.
Simplificar para obtener
Solución al ejemplo 2:
Solución al ejemplo 3:
Solución al ejemplo 4:
Dado que x se aproxima a valores positivos grandes (infinito) | x | = x. Simplifica y encuentra el límite.
Ahora calculamos el primer límite haciendo T = 3t y notando que cuando t tiende a 0 también lo hace T. También usamos el hecho de que sen T / T tiende a 1 cuando T tiende a 0. Por lo tanto
El segundo límite se calcula fácilmente de la siguiente manera
El valor final del límite es
Factorice x a partir del numerador y el denominador y simplifique
A medida que x crece, los términos 1/x y 1/x2 se aproximan a cero y el límite es
