La Regla de L'Hôpital y las Formas Indeterminadas de Límites en Cálculo
La regla de L'Hôpital nos permite reemplazar un límite con otro que puede ser más simple de resolver. Se presentan varios ejemplos junto con sus soluciones y explicaciones detalladas.
Regla de L'Hôpital
Si \( \lim_{{x \to a}} f(x) = 0 \) y \( \lim_{{x \to a}} g(x) = 0 \) y si \( \lim_{{x \to a}} \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \) tiene un valor finito \( L \), o es de la forma \( +\infty \) o \( -\infty \), entonces
\[
\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}
\]
donde \( \lim \) representa \( \lim_{{x \to a}}, \lim_{{x \to a^+}}, \lim_{{x \to a^-}}, \lim_{{x \to +\infty}}, \) o \( \lim_{{x \to -\infty}} \).
\( f'(x) \) y \( g'(x) \) son las derivadas de \( f(x) \) y \( g(x) \) respectivamente.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Encuentre el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} \)
Solución al Ejemplo 1:
Desde
\[ \lim_{{x \to 0}} \sin x = 0 \]
y
\[ \lim_{{x \to 0}} x = 0 \]
La regla de L'Hôpital se puede usar para evaluar el límite anterior de la siguiente manera
\[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(\sin x)}}{{dx}}} {\dfrac{{d(x)}}{{dx}} } \]
\[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{1}} = \dfrac{{\cos 0}}{{1}} = 1 \]
Ejemplo 2
Encuentre el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} \)
Solución al Ejemplo 2:
Note que
\[ \lim_{{x \to 0}} (e^x - 1) = 0 \]
y
\[ \lim_{{x \to 0}} x = 0 \]
Podemos usar la regla de L'Hôpital para calcular el límite dado de la siguiente manera
\[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(e^x - 1)}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x)}}{{dx}}} \]
\[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x}}{{1}} = \dfrac{{e^0}}{{1}} = 1 \]
Ejemplo 3
Encuentre el límite \( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} \)
Solución al Ejemplo 3:
Dado que el límite del numerador
\[ \lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1) = 0 \]
y el del denominador
\[ \lim_{{x \to 1}} (x - 1) = 0 \]
ambos son iguales a cero, podemos usar la regla de L'Hôpital para calcular el límite
\[ \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{\dfrac{{d(x^2 - 1)}}{{dx}}}{ \dfrac{{d(x - 1)}}{{dx}}} \]
\[ = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{2x}}{{1}} = \dfrac{{2(1)}}{{1}} = 2 \]
Note que el mismo límite puede ser calculado primero factorizando de la siguiente manera
\[ \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} \]
\[ = \lim_{{x\to 1}} (x + 1) = 2 \]
Ejemplo 4
Encuentre el límite \( \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} \)
Solución al Ejemplo 4:
Límite del numerador
\[ \lim_{{x \to 2}} \ln(x - 1) = 0 \]
Límite del denominador
\[ \lim_{{x \to 2}} (x - 1) = 0 \]
Ambos límites son iguales a cero, se puede usar la regla de L'Hôpital
\[ \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{\dfrac{{d(\ln(x - 1))}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x - 2)}}{{dx}} } \]
\[ = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{1/(x-1)}}{{1}} = \dfrac{{1/(2 -1)}}{{1}} = 1 \]
Ejemplo 5
Encuentre el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} \)
Solución al Ejemplo 5:
Límite del numerador y denominador
\[ \lim_{{x \to 0}} (1 - \cos x) = 0 \]
\( \lim_{{x \to 0}} 6x^2 = 0 \)
La regla de L'Hôpital puede ser usada
\[ \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{12x}} \]
El nuevo límite es también indeterminado \( \dfrac{0}{0} \) y podemos aplicar la regla de L'Hôpital una segunda vez
\[ = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{12}} = \dfrac{{\cos 0}}{{12}} = \dfrac{1}{12} \]
Ejercicios
Encuentre los límites
1. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin 4x}}{{\sin 2x}} \)
2. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\tan x}}{{x}} \)
3. \( \quad \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{\ln x}}{{3x - 3}} \)
4. \( \quad \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{\sin 2x}} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
1. \( \quad 2 \)
2. \( \quad 1 \)
3. \( \quad \dfrac{1}{3} \)
4. \( \quad \dfrac{1}{2} \)
Más Referencias y Enlaces
Tutoriales y Problemas de Cálculo
Límites de Preguntas sobre Funciones de Valor Absoluto