La Regla de L'Hôpital y Las Formas Indeterminadas de los Límites en Cálculo

El teorema de L'Hôpital nos permite reemplazar un problema de límite por otro que puede ser más fácil de resolver. Se presentan varios ejemplos junto con sus soluciones y explicaciones detalladas.

El Teorema de L'Hôpital

Si \( \lim_{{x \to a}} f(x) = 0 \) y \( \lim_{{x \to a}} g(x) = 0 \) y si \( \lim_{{x \to a}} \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \) tiene un valor finito \( L \), o es de la forma \( +\infty \) o \( -\infty \), entonces

donde \( \lim \) significa \( \lim_{{x \to a}}, \lim_{{x \to a^+}}, \lim_{{x \to a^-}}, \lim_{{x \to +\infty}}, \) o \( \lim_{{x \to -\infty}} \).
\( f'(x) \) y \( g'(x) \) son las derivadas de \( f(x) \) y \( g(x) \) respectivamente.

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1

Encuentra el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} \)

Solución del Ejemplo 1:
Dado que
\( \lim_{{x \to 0}} \sin x = 0 \)
y
\( \lim_{{x \to 0}} x = 0 \)
La regla de L'Hôpital puede ser utilizada para evaluar el límite anterior de la siguiente manera
\( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(\sin x)}}{{dx}}} {\dfrac{{d(x)}}{{dx}} } \)
\( = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{1}} = \dfrac{{\cos 0}}{{1}} = 1 \)

Ejemplo 2

Encuentra el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} \)

Solución del Ejemplo 2:
Observa que
\( \lim_{{x \to 0}} (e^x - 1) = 0 \)
y
\( \lim_{{x \to 0}} x = 0 \)
Podemos usar la regla de L'Hôpital para calcular el límite dado de la siguiente manera
\( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{x}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{\dfrac{{d(e^x - 1)}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x)}}{{dx}}} \)
\( = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x}}{{1}} = \dfrac{{e^0}}{{1}} = 1 \)

Ejemplo 3

Encuentra el límite \( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} \)

Solución del Ejemplo 3:
Dado que el límite del numerador
\( \lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1) = 0 \)
y el del denominador
\( \lim_{{x \to 1}} (x - 1) = 0 \)
ambos son iguales a cero, podemos usar la regla de L'Hôpital para calcular el límite
\( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{\dfrac{{d(x^2 - 1)}}{{dx}}}{ \dfrac{{d(x - 1)}}{{dx}}} \)
\( = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{2x}}{{1}} = \dfrac{{2(1)}}{{1}} = 2 \)
Observa que el mismo límite se puede calcular factorizando primero de la siguiente manera
\( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} \)
\( = \lim_{{x \to 1}} (x + 1) = 2 \)

Ejemplo 4

Encuentra el límite \( \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} \)

Solución del Ejemplo 4:
Límite del numerador
\( \lim_{{x \to 2}} \ln(x - 1) = 0 \)
Límite del denominador
\( \lim_{{x \to 2}} (x - 1) = 0 \)
Ambos límites son iguales a cero, se puede usar la regla de L'Hôpital
\( \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{\ln(x - 1)}}{{x - 2}} = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{\dfrac{{d(\ln(x - 1))}}{{dx}}} { \dfrac{{d(x - 2)}}{{dx}} } \)
\( = \lim_{{x \to 2}} \dfrac{{1/(x-1)}}{{1}} = \dfrac{{1/(2 -1)}}{{1}} = 1 \)

Ejemplo 5

Encuentra el límite \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} \)

Solución del Ejemplo 5:
Límite del numerador y del denominador
\( \lim_{{x \to 0}} (1 - \cos x) = 0 \)
\( \lim_{{x \to 0}} 6x^2 = 0 \)
Se puede usar la regla de L'Hôpital
\( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{1 - \cos x}}{{6x^2}} = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin x}}{{12x}} \)
El nuevo límite también es indeterminado \( \dfrac{0}{0} \) y podemos aplicar el teorema de L'Hôpital por segunda vez
\( = \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\cos x}}{{12}} = \dfrac{{\cos 0}}{{12}} = \dfrac{1}{12} \)

Ejercicios

Encuentra los límites
1. \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\sin 4x}}{{\sin 2x}} \)
2. \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{\tan x}}{{x}} \)
3. \( \lim_{{x \to 1}} \dfrac{{\ln x}}{{3x - 3}} \)
4. \( \lim_{{x \to 0}} \dfrac{{e^x - 1}}{{\sin 2x}} \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

1. \( 2 \)
2. \( 1 \)
3. \( \dfrac{1}{3} \)
4. \( \dfrac{1}{2} \)

Más Referencias y enlaces