Límites de Preguntas sobre Funciones con Valor Absoluto
Cómo encontrar los límites de funciones con valor absoluto; se presentan varios ejemplos y soluciones detalladas junto con interpretaciones gráficas. Un conjunto de ejercicios con respuestas se presenta al final de la página.
Encuentra los límites de las siguientes funciones.
Pregunta 1
Encuentra el límite:
\[
\lim_{x \to -1} \frac{x}{|x|}
\]
Solución
Los pasos para encontrar el límite son:
\[
\lim_{x \to -1} \frac{x}{|x|}
= \frac{-1}{|-1|}
= \frac{-1}{1}
= -1
\]
Pregunta 2
Evalúa el límite:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x}{|x|}
\]
Solución
Los pasos para encontrar el límite son
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x}{|x|}
= \frac{1}{|1|}
= 1
\]
Pregunta 3
Encuentra el límite:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}
\]
Solución
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} = \frac{0}{|0|} \; \; \text{forma indeterminada}
\]
Recuerda que
\( | x | = x \) para \( x \ge 0 \) y \( | x | = - x \) para \( x \lt 0 \)
Calculemos el límite por la izquierda de \( x = 0 \) donde \( x \lt 0 \) y por lo tanto \( | x | = - x \)
\[
\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{- x} = \lim_{x \to 0^-} - 1 = -1
\]
Calculemos el límite por la derecha de \( x = 0 \) donde \( x \gt 0 \) y por lo tanto \( | x | = x \)
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 =1
\]
Los límites por la izquierda y por la derecha de x = 0 no son iguales, por lo tanto
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} \; \; \text{no existe}
\]
La gráfica de f(x) = x / |x| se muestra a continuación y vemos claramente que los límites por la izquierda y por la derecha de 0 no son iguales.
Figura 1. Gráfica de f(x) = x / |x|.
Pregunta 4
Evalúa el límite:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x|}
\]
Solución
a medida que \( x \) aumenta indefinidamente, \( x \gt 0 \) y por lo tanto \( |x| = x \)
Por lo tanto
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1
\]
Pregunta 5
Encuentra el límite:
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|}
\]
Solución
a medida que \( x \) disminuye indefinidamente, \( x \lt 0 \) y por lo tanto \( |x| = - x \)
Por lo tanto
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{ - x} = \lim_{x \to \infty} - 1 = - 1
\]
Calculemos el límite por la izquierda de \( -2 \) (donde \( x \le -2 \)) y por la derecha de \( -2 \) (donde \( x \ge -2 \)) por separado.
Recuerda que:
Si \( x + 2 \ge 0 \quad \text{o} \quad x \ge -2 \), entonces
\[
|x + 2| = x + 2
\]
y
Si \( x + 2 \le 0 \quad \text{o} \quad x \le -2 \), entonces
\[
|x + 2| = - (x + 2)
\]
Calculemos el límite por la izquierda de \( x = - 2\).
\[
\lim_{x \to - 2^-} \frac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} - 1 = -1
\]
Calculemos el límite por la derecha de \( x = - 2 \)
\[
\lim_{x \to - 2^+} \frac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to - 2^+} \frac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1
\]
Los límites por la izquierda y por la derecha de \( x = - 2 \) no son iguales, por lo tanto
\[
\lim_{x \to - 2} \frac{|x + 2|}{x + 2} \; \; \text{no existe}
\]
Pregunta 7
Encuentra el límite:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|}
\]
Solución
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \frac{(1)^2+2(1)-3}{|(1) - 1|} = \dfrac{0}{0} \; \; \text{indeterminado}
\]
En \( x = 1 \) tanto el numerador como el denominador son iguales a cero, por lo tanto tienen un factor común \( x - 1 \). Factorizamos el numerador.
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{|x - 1|}
\]
Recuerda que
\[ | x - 1 | = x - 1 \quad \text{para} \quad x - 1 \ge 0 \quad \text{o} \quad x \ge 1 \]
y
\[ | x - 1 | = - (x - 1) \quad \text{para} \quad x - 1 \le 0 \quad \text{o} \quad x \le 1 \]
Calculemos el límite por la izquierda de \( x = 1 \)
\[
\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+3)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} - (x + 3) = - 4
\]
Calculemos el límite por la derecha de \( x = 1 \)
\[
\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4
\]
Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, por lo tanto
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} \; \; \text{no existe}
\]
La gráfica de \( f(x) =\dfrac{x^2 + 2 x - 3}{|x - 1|} \) se muestra a continuación y vemos claramente que los límites por la izquierda y por la derecha de 1 no son iguales.
Figura 2. Gráfica de \( f(x) =\dfrac{x^2 + 2 x - 3}{|x - 1|} \).
A medida que \( x \) aumenta indefinidamente, \( x + 2 \) también aumenta indefinidamente y por lo tanto \( x + 2 \ge 0 \), de ahí que
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+7}{x + 2} = + \infty
\]
Pregunta 9
Encuentra el límite:
\[
\lim_{x \to - \infty} \frac{x^2+5x+7}{|x + 2|}
\]
Solución
A medida que \( x \) disminuye indefinidamente, \( x + 2\) también disminuye indefinidamente y por lo tanto \( x + 2 \le 0 \), de ahí que
\[
\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+5x+7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5x+7}{-(x + 2)} = + \infty
\]
La gráfica de \( f(x) = \dfrac{x^2+5x+7}{|x + 2|} \) se muestra a continuación y vemos claramente que \( y = f(x) \) aumenta indefinidamente a medida que x aumenta indefinidamente y también a medida que \( x \) disminuye indefinidamente.
Figura 3. Gráfica de \( f(x) = \dfrac {x^2 + 5 x + 7}{|x + 2|} \).
