Gráficas de Funciones Polinomiales

Esta página incluye una aplicación para ayudarte a explorar polinomios de grado hasta 5 de la forma:
\[ f(x) = a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f \] cambiando los valores de los coeficientes \( a, b, c, d, e\) y \( f \). No es fácil sacar conclusiones cuando cambias los 5 coeficientes al mismo tiempo. Siempre puedes reducir el grado (la potencia más alta) estableciendo algunos parámetros a cero. Por ejemplo, si estableces el coeficiente \( a \) a cero y \( b \) a un valor distinto de cero, obtienes un polinomio de grado 4. Una vez que termines este tutorial interactivo, es posible que desees considerar gráficas de funciones polinomiales - preguntas y ceros reales y gráficas de polinomios Si es necesario, Papel cuadriculado gratis está disponible.

Tutoriales Interactivos Usando una Aplicación

A - Explora Soluciones Reales de Ecuaciones Polinomiales de la Forma

1. Establece todos los coeficientes a cero excepto \( a \) y \( f \).
   Escribe el polinomio y su grado, examina la gráfica obtenida. ¿Cuántas intersecciones con el eje x (o soluciones reales de la ecuación anterior) tiene la gráfica? Repite para diferentes valores de a y f.
   
   
2. Establece todos los coeficientes a cero excepto \( b \) y \( f \).
   Escribe el polinomio y su grado, examina la gráfica obtenida. Cambia b y f y observa cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica. ¿Qué valores de f dan intersecciones y qué valores no dan ninguna intersección?
   
   
3. Establece todos los coeficientes a cero excepto c y f.
   Escribe el polinomio y su grado, examina la gráfica que obtienes. Cambia c y f y observa cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica.
   
   
4. Establece todos los coeficientes a cero excepto d y f.
   Escribe el polinomio y su grado, examina la gráfica que obtienes. Cambia d y c y observa cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica y para qué valores de f.
   
   
5. Establece todos los coeficientes a cero excepto e y f,
   escribe el polinomio y su grado, examina la gráfica que obtienes. Cambia e y f y observa cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica.
   
   De los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 anteriores, ¿qué conclusión puedes sacar sobre el número de soluciones de ecuaciones polinomiales de la forma \[ x^n + f = 0 \]
   dependiendo de si \( n \) es par o impar y \( f \) es negativo, positivo o cero?.
   
   

B - Explora Polinomios Pares e Impares

1. Establece a, c y e a cero, escribe el
   polinomio y su grado, examina la gráfica que obtienes, ¿f(x) es par, impar o ninguna?
   
   
2. Establece b, d y f a cero, escribe el
   polinomio y su grado, examina la gráfica que obtienes, ¿f(x) es par, impar o ninguna?
   
   

C - Ceros de Polinomios

1. Establece \( a \) a un valor distinto de cero (polinomio de grado 5). Cambia todos los demás coeficientes (valores distintos de cero si es posible) para que la gráfica de \( f(x) \) tenga:
   1 intersección con el eje x.
   3 intersecciones con el eje x.
   5 intersecciones con el eje x.
   ¿Por qué crees que solo podemos obtener un número impar de ceros reales de \( f(x) \)?
   
   
2. Establece \( a \) a cero y \( b \) a un valor distinto de cero (polinomio de grado 4). Cambia todos los demás coeficientes (valores distintos de cero si es posible) para que la gráfica de \( f(x) \) tenga:
   ninguna intersección con el eje x.
   2 intersecciones con el eje x.
   4 intersecciones con el eje x.
   ¿Por qué crees que solo podemos obtener un número par de ceros reales para \( f(x) \)?
   
   (Los dos últimos ejercicios no son fáciles, sin embargo son muy útiles para comprender completamente los polinomios).

D - Prueba del Coeficiente Principal

1. Establece el coeficiente principal \( a\) a un valor positivo (polinomio de grado 5) y establece b, c, d, e y f a algunos valores.
   A medida que x aumenta sin límite, ¿el lado derecho de la gráfica sube o baja?
   A medida que x disminuye sin límite, ¿el lado derecho de la gráfica sube o baja?
   Cambia \( b, c, d, e \) y \( f \) y observa si el comportamiento anterior cambia.
   
   
2. Establece \( a \) a cero y \( b \) (coeficiente principal) a un valor positivo para obtener un polinomio de grado 4 y realiza la misma exploración que en 1 anterior y 2 anterior.
   
   
3. Establece a y b a cero y c (coeficiente principal) a un valor positivo (polinomio de grado 3) y realiza la misma exploración que en 1 anterior y 2 anterior.
   
   
4. Establece a, b y c a cero y d (coeficiente principal) a un valor positivo (polinomio de grado 2) y realiza la misma exploración que en 1 anterior y 2 anterior.
   
   
5. Establece a, b, c y d a cero y e (coeficiente principal) a un valor positivo (polinomio de grado 1) y realiza la misma exploración que en 1 anterior y 2 anterior.
   
   ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento de la gráfica del polinomio f(x) con un grado n par y un coeficiente principal positivo a medida que x aumenta sin límite? ¿Qué dices sobre el comportamiento del mismo polinomio a medida que x disminuye sin límite?
   
   ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento de la gráfica del polinomio f(x) con un grado n par y un coeficiente principal negativo a medida que x aumenta sin límite? ¿Qué dices sobre el comportamiento del mismo polinomio a medida que x disminuye sin límite?
   
   ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento de la gráfica del polinomio f(x) con un grado n impar y un coeficiente principal positivo a medida que x aumenta sin límite? ¿Qué dices sobre el comportamiento del mismo polinomio a medida que x disminuye sin límite?
   
   ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento de la gráfica del polinomio f(x) con un grado n impar y un coeficiente principal negativo a medida que x aumenta sin límite? ¿Qué dices sobre el comportamiento del mismo polinomio a medida que x disminuye sin límite?
   
   

Más referencias y enlaces a funciones polinomiales