Ceros Reales, Multiplicidad y Gráficas de Funciones Polinomiales

Este tutorial explica cómo los ceros reales de un polinomio afectan su gráfica. Se incluyen ejemplos, ejercicios y soluciones. Aunque nos enfocamos en polinomios en forma factorizada, también se discute la factorización de polinomios. Para temas más avanzados, consulta cómo encontrar ceros de polinomios y gráficas interactivas de polinomios.

1. Ceros de un Polinomio

Sea \(P(x)\) un polinomio. Los ceros son todos los valores de \(x\) para los cuales \(P(x) = 0\). Los ceros reales corresponden a las intersecciones con el eje \(x\) de la gráfica, donde el polinomio cruza o toca el eje \(x\).

Ejemplo 1

Encuentra los ceros de \(P(x) = 5 (x - 1)(x - 2)\).

Solución:

Resuelve \(5(x-1)(x-2) = 0\). Los factores dan: \[ x - 1 = 0 \quad \text{o} \quad x - 2 = 0 \] Por lo tanto, los ceros son: \[ x = 1, \quad x = 2 \]

2. Multiplicidad de los Ceros

Si un polinomio está factorizado como \[ P(x) = (x - x_1)^{m_1} (x - x_2)^{m_2} \dots (x - x_n)^{m_n}, \] entonces el cero \(x=x_i\) tiene multiplicidad \(m_i\). La multiplicidad indica cuántas veces ocurre un cero en la factorización. El número total de ceros (incluyendo los complejos) es igual al grado del polinomio, por lo que el número de ceros reales es como máximo igual al grado.

Ejemplo 2

Encuentra los ceros y sus multiplicidades de \[ P(x) = -2 (x+1)^3 (x-3) (2x+7)^2. \]

Solución:

Resuelve \(-2 (x+1)^3 (x-3) (2x+7)^2 = 0\). \[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \text{ (multiplicidad 3)}, \quad x-3=0 \Rightarrow x=3 \text{ (multiplicidad 1)}, \quad 2x+7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{2} \text{ (multiplicidad 2)} \]

3. Comportamiento de la Gráfica Cerca de los Ceros

En un cero real, la gráfica cruza o toca el eje \(x\):

Ejemplo 3

Para \(P(x) = 0,05 (x-1)^2 (x-3) (x+2)^3\), analiza el comportamiento en cada cero.

Solución:

Ceros e intersecciones con el eje x de polinomios
Fig.1 - Multiplicidad de los Ceros e Intersecciones con el Eje \(x\)

Ejemplo 4

Para \(P(x) = 0,1 (x-1)^2 (x-3)^4 (x+1)^3\):

Solución:

Ceros e intersecciones con el eje x de polinomios
Fig.2 - Multiplicidad de los Ceros e Intersecciones con el Eje \(x\)

4. Escritura de Polinomios a Partir del Comportamiento de la Gráfica

Ejemplo 5

a) Polinomio \(Q_1(x)\) de grado 4 con cero \(x=2\) (multiplicidad 2) y ceros \(x=1, -1\): \[ Q_1(x) = k_1 (x-2)^2 (x-1)(x+1), \quad k_1 \neq 0 \]

b) Polinomio \(Q_2(x)\) de grado 5, la gráfica toca en \(x=0,4\) y cruza en \(x=3\): \[ Q_2(x) = k_2 x^2 (x-4)^2 (x-3), \quad k_2 \neq 0 \]

5. Preguntas (con soluciones)

Parte A

Determina los ceros, multiplicidades y comportamiento de las gráficas.

  1. \(P_1(x) = 0,5(x+1)(x-2)(x-3)^2\)
  2. \(P_2(x) = 0,1(x-1)^3 (x+4)^2\)
  3. \(P_3(x) = 0,03 x^3 (x-3)^2 (x+3)^2\)

Parte B

Escribe los polinomios en forma factorizada:

  1. Grado 3, cero en \(x=-1\), la gráfica toca en \(x=-3\)
  2. Grado 4, toca en \(x=0\), cruza en \(x=3\), cruza en \(x=\frac12\)
  3. Grado 6, toca en \(x=-1\), cruza en \(x=3\) y \(x=-4\), multiplicidad en \(x=3\) > multiplicidad en \(x=-4\)

Soluciones

Parte A

  1. \(P_1(x)\): ceros: \(x=-1\) (1), \(x=2\) (1), \(x=3\) (2); cruza en -1,2, toca en 3
    Gráfica del polinomio P1
    Fig.3 - Ceros e Intersecciones con el Eje \(x\) de \(P_1(x)\)
  2. \(P_2(x)\): ceros: \(x=1\) (3), \(x=-4\) (2); cruza en 1, toca en -4
    Gráfica del polinomio P2
    Fig.4 - Ceros e Intersecciones con el Eje \(x\) de \(P_2(x)\)
  3. \(P_3(x)\): ceros: \(x=0\) (3), \(x=3\) (2), \(x=-3\) (2); cruza en 0, toca en ±3
    Gráfica del polinomio P3
    Fig.5 - Ceros e Intersecciones con el Eje \(x\) de \(P_3(x)\)

Parte B

  1. \(Q_1(x) = k_1 (x+1)(x+3)^2\)
  2. \(Q_2(x) = k_2 x^2 (x-3)(x-\frac12)\)
  3. \(Q_3(x) = k_3 (x+1)^2 (x-3)^3 (x+4)\)

Más Referencias