Explora gráfica e interactivamente las derivadas como se definen en cálculo de funciones polinómicas de tercer orden.
Se exploran simultáneamente e interactivamente una función polinómica de tercer orden de la forma
f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c
y su primera derivada para comprender profundamente los significados analíticos y gráficos del concepto de la derivada. Este tutorial interactivo asume que tienes conocimientos sobre funciones y sus derivadas, y la recta tangente a la gráfica de una función.
Tutorial Interactivo
1 - Haz clic en el botón "graficar". Se muestran tres gráficos: el de la función polinómica f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, en azul, donde los parámetros a, b y c se pueden cambiar en las cajas de texto de arriba. En color negro la recta tangente a la gráfica de f y en rojo la gráfica de la primera derivada f ' que se dibuja a medida que se cambia la posición de la recta tangente usando el botón rojo a lo largo de la línea verde.
2 - Usa el botón rojo, en la parte inferior, para cambiar la posición de la recta tangente (negra) para que esté en un máximo o mínimo local de f(x). Observa que la pendiente de la tangente en tales puntos es cercana a cero (cero en teoría). ¿Cuál es el valor de f '(x) en estos puntos máximos y mínimos?
3 - Cambia los parámetros a, b y c incluidos en la definición del polinomio anterior y repite la misma actividad de posicionar la recta tangente en un mínimo o máximo local. Toma nota de la pendiente y el valor de f'(x) en estos puntos y experimenta con tantos valores de los parámetros a, b y c como sea posible.
4 - Cambia el parámetro c a diferentes valores; ¿tiene algún efecto el parámetro c en la derivada o la recta tangente? Explica.
5 - La primera derivada de f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c está dada por
f '(x) = 3 x 2 + 2 a x + b
que es una función cuadrática. Los puntos en los que f '(x) es igual a cero se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática
3 x 2 + 2 a x + b = 0
El discriminante D de la ecuación cuadrática anterior está dado por
D = (2 a) 2 - 4 (3)(b) = 4 a 2 - 12 b
Cambia los valores de los parámetros a y b de modo que D sea positivo (Ejemplo: a = 2 y b = 0). Localiza los dos puntos donde f '(x) es igual a cero (las intersecciones x de la gráfica de la derivada en rojo). Usa el botón rojo para posicionar la recta tangente en estos dos puntos y observa que es (casi) horizontal. ¿Tiene f un máximo o mínimo local en estos puntos? Usa los teoremas de cálculo (si los has estudiado ya) para explicar lo que has observado.
6 - Ingresa valores para a y b de modo que D = 0 (Ejemplo: a = 0 y b = 0). La ecuación cuadrática 3 x 2 + 2 a x + b = 0 tiene una solución y la gráfica de f '(x) toca el eje x en un punto, de hecho, es un punto de tangencia. ¿Tiene f un máximo o mínimo local en este punto específico? Usa los teoremas de cálculo para explicar lo que has observado.
7 - Establece a y b en valores tales que el discriminante D sea negativo (Ejemplo: a = 1 y b = 2). La ecuación cuadrática 3 x 2 + 2 a x + b = 0 no tiene solución. ¿Tiene f un máximo o mínimo local? ¿Existe una posición para la cual la recta tangente sea horizontal? Explica.
8 - Establece los parámetros a, b y c para que el discriminante D sea positivo y, por lo tanto, f tenga un máximo y un mínimo local. ¿Cuál es el signo de la derivada f '(x) cuando la gráfica de f está aumentando? ¿Cuál es el signo de la derivada f '(x) cuando la gráfica de f está disminuyendo? ¿Dónde ocurre el cambio de aumento a disminución? ¿Dónde ocurre el cambio de aumento a disminución?
9 - Establece los parámetros a, b y c para que el discriminante D = 0. ¿Cambia el signo de f'(x)? ¿Existe un mínimo o máximo local? Explica.
10 - Cambia los parámetros a, b y c y explora f y su derivada f ' hasta que entiendas completamente las propiedades gráficas y analíticas. Envíame un correo electrónico si tienes sugerencias sobre cómo podemos explorar otras propiedades de las gráficas de funciones y sus derivadas usando la aplicación anterior.
