يشرح هذا الدرس كيفية تحديد رتبة وخطية المعادلة التفاضلية، مع أمثلة محلولة وتمارين. انظر أيضاً مقدمة في المعادلات التفاضلية.
رتبة المعادلة التفاضلية
تُعرف رتبة المعادلة التفاضلية بأنها أعلى مشتقة تظهر في المعادلة.
مثال 1: تحديد الرتبة
حدد رتبة كل معادلة تفاضلية:
\[
\begin{aligned}
1)&\ \frac{dy}{dx} + x y^2 = 2x \\
2)&\ \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \\
3)&\ 10y'' - y = e^x \\
4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - x\frac{dy}{dx} + (1-x)y = \sin x
\end{aligned}
\]
الحل:
- 1. أعلى مشتقة هي \(dy/dx\) ← الرتبة 1.
- 2. أعلى مشتقة هي \(d^2y/dx^2\) ← الرتبة 2.
- 3. أعلى مشتقة هي \(y''\) ← الرتبة 2.
- 4. أعلى مشتقة هي \(d^3y/dx^3\) ← الرتبة 3.
خطية المعادلة التفاضلية
تسمى المعادلة التفاضلية خطية إذا:
- تظهر \(y\) ومشتقاتها فقط للأس الأول.
- لا توجد حاصل ضرب لـ \(y\) مع نفسها أو مشتقاتها.
- لا توجد دلالات لـ \(y\) مثل \(\sin y\) أو \(\ln y\) أو \(y^2\).
- المعاملات تعتمد فقط على \(x\).
مثال 2: تحديد الخطية
حدد المعادلات الخطية:
\[
\begin{aligned}
1)&\ \frac{dy}{dx} + x^2y = x \\
2)&\ \frac{1}{x}\frac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\
3)&\ \frac{dy}{dx} - \ln y = 0 \\
4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - 2\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 2\sin x
\end{aligned}
\]
الحل:
- 1. خطية.
- 2. غير خطية (تحتوي على \(y^3\)).
- 3. غير خطية (تحتوي على \(\ln y\)).
- 4. خطية.
الصيغ القياسية
معادلة خطية من الرتبة الأولى
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]
معادلة خطية من الرتبة الثانية
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]
التمارين والإجابات
مسائل التدريب والحلول
حدد رتبة وخطية كل معادلة:
\[
\begin{aligned}
1)&\ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 2\frac{dy}{dx} = \sin x \\
2)&\ \frac{dy}{dx} - 2xy = x^2 - x \\
3)&\ \frac{dy}{dx} - \sin y = -x \\
4)&\ \frac{d^2y}{dx^2} = 2xy
\end{aligned}
\]
الإجابات:
- 1. الرتبة 3، غير خطية.
- 2. الرتبة 1، خطية.
- 3. الرتبة 1، غير خطية.
- 4. الرتبة 2، خطية.